05第5章插值与拟合论述.pdf

数学建模算法与应用 第5章 插值与拟合 数学 建模 在实际问题中，一个函数 y? fx()往往是从 实验观测得到的，所知道的仅为函数 fx()在某 区间[,]ab上一系列点上的值 yii? fx()，in? 0,1,? , ， 当需要在这些结点 xx01,,,? xn 之间的点 x 上的 函数值时，常用较简单的、满足一定条件的函 数?()x 去代替 fx()，插值法是一种常用方法， 其插值函数?()x 满足条件 ?()xyii? ，in? 0,1,? , . 3/63 数学 建模 2 n pn (x) = a0 + a1x + a2 x +?+ an x pn (xi ) = f (xi ) = yi (i = 0,1,2,?,n) 4/63 数学 建模 拟合也是已知有限个数据点，求近似函数，不要求 过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总 偏差最小。 5/63 数学 建模 5.1 插值方法 在工程和数学应用中，经常有这样一类数据处理问 题，在平面上给定一组离散点列，要求一条曲线，把这 些点按次序连接起来，称之为插值。 已知n ?1个点(,)xyii（in? 0,1,? , ）， 下面求各种插值函 数。 6/63 现象数学 建模 Runge现象 7/63 数学 建模 5.1.1 拉格朗日插值多项式 拉格朗日插值的基函数为 (xx?0 )(?? xx ??ii?? 11 )( xx )( xx ? n ) lxi ()? (xxi?0 )(?? xx ii ???? 11 )( xx ii )( xx in ? ) n xx? ??? j , (i01 , ,? ,n ). j?0 xxij? ji? lxi ()是n次多项式，满足 ??0,ji? , lxij()? ? ??1,ji? . 拉格朗日插值函数 ?? nn? n ? ? xx? j ? Lxylxy()?? () ? ? n ??ii i?? ? ii??00? j?0 xxij? ? ??? ji? ? 8/63 数学 建模 5.1.2 分段线性插值 简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形 成的一条折线就是分段线性插值函数，记作Ixn ()，它满足 Ixni()? y i，且Ixn ()在每个小区间[,xxii?1 ]上是线性函数 (in? 0,1,? , )。 n Ixn ()可以表示为In() x? ? ylii () x ，其中 i?0 ?? xx? ? i?1 , xxx?? [ , ] ( i 0,） ? ? ii?1 ? xxii?1 ? ? xx? i?1 lx()?? ，（