上海孙振飞等腰梯形中的若干基本推理.docVIP

来稿日期：2011-1-26 联系：上海市甘泉外国语中学 孙振飞（上海市普陀区宜川路400号 200065） 电话QQ：493209085（天地） E-mail: hlsunzhenfei@ 孙振飞简介：南京师范大学数学教育本科毕业，中学高级教师，江苏省海安县数学学科带头人，南通市数学骨干教师，有一百多篇文章发表于省级、国家级刊物上，其中有三篇论文被人大复印资料《中学数学教与学》杂志转载．2010年调入上海市甘泉外国语中学工作． 适合贵报第37期 细节彰显几何推理的严密性 ——谈等腰梯形中的若干基本推理 “细节决定成败”．同样，几何推理能力的高低往往也是由细节处推理是否严密而体现的．初学等腰梯形性质时，不少同学对一些重要结论的获得往往停留在直观认识上，不能对其之所以然有透彻理解；而在判定等腰梯形时，对一些基本条件的运用缺乏正确的应对方法．致使出现不加推理直接得到结论或推理混乱，甚至推理无法进行下去等错误．本文略举几例，重在细微处加以剖析，以期帮同学们指点迷津． 一、由等腰梯形的条件所获得的两个重要结论 1．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AE、DF分别是高．不少同学默认四边形AEFD为平行四边形（或矩形）、△ABE与△DCF全等，而不加以推证．这对于一道基本题的解题过程来讲显然是不符合要求的，以上结论获得的基本推理如下： ∵AE⊥BC，DF⊥BC ∴∠AEB=∠DFC=90°，AE∥DF 又AD∥BC ∴四边形AEFD为平行四边形 ∴AE=DF 又AB=CD ∴△ABE≌△DCF ∴BE=CF 2．如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O．部分同学不加推理就得到OB=OC，OA=OD或推理混乱，如：∵AC=BD ∴∠1=∠2或∵AC=BD ∴OB=OC等．其正确推理应为：∵AB=CD AC=DB BC=CB ∴△ABC≌△DCB ∴∠1=∠2 ∴OB=OC 又AC=BD ∴OA=OD 以上两个基本图形所反映出的结论是在已有等腰梯形的条件基础上进行有关计算或证明的关键，同学们在学习时不但要知其然，更要知其所以然． 二、判定等腰梯形时两类条件的应用 例1 已知，如图3，在四边形ABCD中，AB＞DC，∠1=∠2，AC=BD． 求证：四边形ABCD是等腰梯形． 剖析：由于已给出了一组对边不相等和对角线相等的条件，所以关键是证明该组对边平行，即AB∥CD，此细节恰恰是推理的难点所在．其证明如下：∵∠1=∠2 ∴OA=OB ∵AC=BD ∴OC=OD ∴∠3=∠4 ∵∠COB=∠3＋∠4=2∠4=∠1＋∠2=2∠2 ∴∠2=∠4 ∴AB∥CD．此外说明四边形是等腰梯形要注意分层次：先证明其为梯形（必需两条件，缺一不可），再证明梯形为等腰梯形（需一个条件）． 例2 如图4，四边形ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm．把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，四边形ACED是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长呢？ 剖析：借助图形的直观不难猜想出四边形ACED是等腰梯形．但条件较为隐蔽，由折叠可知AB=AE，又CD=AB，故AE=CD；又由折叠得∠1=∠2，因CD∥AB，得∠3=∠2，故∠1=∠3．至此在四边形ACED中有了“AE=CD、∠1=∠3”这两个条件，与例1的条件相吻合，用同样的方法可证得DE∥AC． 简解：证明四边形ACED是等腰梯形略．作DG⊥AC于点G，作EH⊥AC于点H，由勾股定理得AC=5，据直角三角形的面积公式得DG=，再由勾股定理求得AG=HC=,得到DE=GH=，进而求出等腰梯形ACED面积为 cm2，周长为 cm． 评注：以上两例中有一类共同的基本图形（如图5）：顶角为对顶角的两个等腰三角形的底边平行．抓住顶角的公共外角是底角的两倍，运用内错角相等，可得两直线平行． 例3 如图6，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线． 求证：四边形EBCD是等腰梯形． 剖析：此题解决的关键还是要证明DE∥BC．由△EBC≌△DCB（ASA）（此处也有一个细节——证“∠1=∠2”： ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB 又∠1=∠ABC，∠2=∠ACB ∴∠1=∠2）可知BE=CD，∵AB=AC ∴AE=AD ∴∠AED=∠ADE ∴∠AED= 又∠ABC= ∴∠AED=∠ABC ∴DE∥BC． 例4 已知：如图7，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足． 求证：四边形ABGE是等腰梯形． 剖析：此题看起来与例3没有任何的关联，其实由正方形的性质再结合三角形全等（△E