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教案 用微积分推导Newton的万有引力定律 复 旦 大 学 於 崇 华 Newton万有引力定律 宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数 为了推导内在的定量关系即数学规律，先要将行星运动定律用数学形式表达出来。 r Kepler第一定律：行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 以太阳为极点，椭圆的长轴为极轴建立极坐标，则行星的轨道方程为 ， 这里是焦参数，是离心率，分别是椭圆的半长轴和半短轴。 设在t时刻： 行星与太阳的距离为r = r (t)，它们的连线与极轴的夹角为，则行星的坐标可以用向量记号表示成 。 先从Newton第二运动定律入手 将分解成水平分量和垂直分量，利用运动的独立性原理，用Newton第二运动定律 ， 分别求它们的二阶导数后再合成。 记行星沿极径方向的速度: （称为径向速度） 加速度: （称为径向加速度）， 角速度: 角加速度: 利用复合函数的求导法则(r和都是t的函数)，行星在方向和方向上的加速度分量分别为 ； 。 记r方向上的单位向量，则加速度向量 = ()+ () （1） 为了得到行星运动规律，必须求出 与 ，而求这两个量只能借助其它的关系式 试着将Kepler的行星运动第二定律用数学形式表达出来： Kepler第二定律：单位时间中，极径扫过的那块椭圆的面积是常数。 记是极径转过角度所扫过的那块椭圆的面积，则由极坐标下的面积公式的微分形式， ， 因此，单位时间中扫过的面积 常数。 记行星绕太阳运行一周的时间为，则经过时间极径所扫过的面积恰为整个椭圆的面积，由定积分的定义和性质，利用微元法，即得 ， 因此常数 ， 两边求导后得到 ， 即 。 这样，（1）的最后一项就去掉了，等式成为 = () （2） 这表示：行星在任一点的加速度的方向（也就是受力的方向）恰与它的极径同向。 从求加速度分量的过程可以发现，加速度的值 来自对（或）求二阶导数，而椭圆方程 中恰含有项。这提示我们，可能可以通过对椭圆方程两边求二阶导数来计算出 。 ， 所以 。 （3） Kepler第三定律：椭圆的半长轴a的三次方和运行周期T的平方成正比，即 = 常数，记太阳的质量为，有 ， 记万有引力常数 ， 便得到万有引力定律的数学表示 。 宇宙万物之间都存在相互的引力，其作用方向在两者的连线上，其大小与两者质量的乘积成正比而和两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数 说 明 (1) 以上只是论证了万有引力定律对太阳-行星系统是正确的。但以后的科学工作者（包括Newton本人）一系列的观测和实验数据证实，它确实“放之四海而皆准”，适用范围从天体运动延展到微观世界，令人信服地定量地解释了许多物理现象，并成为探索未知世界的有力工具。其中一些著名的例子： ●计算出哈雷彗星的轨道和运行周期： ●发现海王星和冥王星； ●正确解释了潮汐的起因和规律； ●计算出第一、第二和第三宇宙速度，指导人类宇航活动。 (2) 数学的产生与发展离不开外部世界的推动，是和解决实际问题紧密联系的。万有引力定律是人类历史上最伟大的数学模型之一。而一个成功的数学模型对文明发展的影响和作用可能无法估量，因此数学及其应用对整个人类文明进程举足轻重。 (3) 一切伟大的科学发现都是站在巨人肩膀上取得的，因此学好前人的科学总结，即打好基础对于培养创新精神极为重要。 (4) 通过此过程可以复习微积分中的一系列重要内容，如：高阶导数、复合函数求导法则、微元法等，并进一步学会如何具体运用这些知识进行简单的数学建模和求解。 (5) 若承认Newton万有引力定律，用微积分作为工具，也可导出Kepler的行星运动三大定律，这说明两者存在着深刻的内在联系（今后在其它课程，如常微分方程、数学模型中学习）