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上海交通大学2002年硕士研究生入学考试数学分析试题 一、判断题（以下各题，对的证明，错的要举反例并说明理由） 1、若 ，而数列收敛，，则数列，必都收敛。（6分） 解：对。证明：由，有，又，由夹逼定理有 ，又收敛，则数列收敛；同理可得数列收敛。 2、若函数在上连续且有界，则在上必一致连续。（6分） 解：错。反例 在上连续且有界，但在上不一致连续。事实上，在上取，，，显然有，但。 3、若函数恒正连续，且无穷积分收敛，则必有。（6分） 解：错。不妨设，作， 显然恒正连续，且 而级数收敛，则收敛。 但，故 。 4、若函数数列，均在区间上一致收敛，则必在区间上一致收敛。（6分） 解：错，反例，，显然，均在区间上一致收敛，但发散，故在区间上不一致收敛。 二、设在区间上连续，在区间上一致连续，且，证明在区间上一致连续。（10分） 证明：因为，对任意给定的，存在，当时， ， 又在区间上一致连续，对于上面的，存在，对满足条件，的任意，有 ， 所以对满足条件，的任意，有 。 所以在上一致连续。又在区间上连续，所以在区间上一致连续，因此，在区间上一致连续。 三、设在上有二次可导，，又存在一点，，且，证明 在上有且仅有两个零点。（10分） 证明：，则存在，当时，，在上由微分中值定理有 ，， 即有 故有，则存在充分大的，使， 又，则存在，当时，，在上由微分中值定理有 ，， 即有 故有，则存在充分大的，使， 再由，和介值定理知在和中各至少存在一个零点，即在上至少有两个零点。 下证在上至多有两个零点，若有两个以上的零点，设有三个零点，即，则由罗尔定理在上存在，与题设矛盾。 因此在上有且仅有两个零点。 四、设在上连续，又单调递减，证明。（10分） 证明：， 当时，由单调递减，则，即，故当时，；当时，有故得当时，；再由在上连续有。 五、讨论级数 （1），， （2），， 的敛散性。（16分） 解:（1） 因单调上升，且 ，所以是正项级数，又 ，则，故级数与有相同的敛散性，于是有当时，级数收敛，时，级数发散。 （2）令，易证单减趋于0，，有界，由Dirichlet判别法知级数收敛。 六、设曲面在第一卦限内的切平面与三坐标轴分别交于三点，求四面体的最小体积。（10分） 解：作函数， ，，， 则曲面点处的切平面为， 即 ，、 三点为，，， 四面体的体积为， 令 ，由 ， ， 解得 ，又得，最小体积为 。 七、（10分）称在处严格递增，是指：存在，，当时，，而当时，，现设在上每一点均严格递增，证明在上严格递增。 证明：反证，运用闭区间套定理得出矛盾。假设在上不严格递增，则存在，，使得，将区间两等分，得两区间和，当时，取，否则有，这时取，这时都有，；再将区间两等分，得和，其中必有区间记为，使得；继续下去，可得一闭区间套，且有；根据闭区间套定理，存在唯一的，，所以当充分大时，有，且，注意不能同时与相等，不妨设则由题设有，故有，矛盾。 八、设，证明。（10分） 证明：因为收敛，所以对任意的，存在，使得， ，（）， 因为，则有界，所以，则有 ， 又在上一致连续，则存在，对满足条件，的任意，有 ， 又易知存在，当时，，所以有，，故 因此有 从而即有。 上海交通大学2005年硕士研究生入学考试数学分析试题 一、设函数为定义在上，满足：，有，试求的表达式。 解：由令得 ，即有 ，解得。 二、设是收敛数列， ，，证明至少有一个属于。 证明：反证法，设，则存在子列和使得，，；由收敛，因此，则是满足是常数列，因此，矛盾。 三、设，数列定义如下： ，， 证明数列收敛，并求其极限。 证明：由 ， ， 且 ， 即数列单调下降有上界，所以由单调有界原理得存在，并记为，则有，解得 ，即。 四、设，求。 解：，而所以不存在，故不存在。 五、设在上可导，且满足，证明存在，且。 证明： 显然，知严格单调递增，又，有 ， 即，在上有上界，故存在，且，所以 。 六、设，其中 为上的连续可微函数，为连续周期函数，周期为1，且，试证明 （1）的任意原函数必为周期为1的周期函数； （2）级数收敛。 证明：由和为周期为1的周期函数得对任意正整数有 ，和 且，有界，即存在，使，， （1）的任意原函数有 ， 即的任意原函数必为周期为1的周期函数； （2）由分部积分得： 由积分中值定理存在使得 ， 所以， 又因此 ，故级数收敛。 七、计算曲面积分其中为椭球面的外侧。 解：， 其中为球面的内侧。 由高斯公式得 ， 而， 故 。 35