【志鸿全优设计】-学数学上册平面直角坐标系例题与讲解北师大版.docVIP

2　平面直角坐标系 1．平面直角坐标系的有关概念 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做x轴或横轴，横轴向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，纵轴向上为正方向；两坐标轴的交点常用字母O表示，称为直角坐标系的原点，也叫坐标原点．建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．横轴与纵轴的单位长度通常取成一致(有时也可以不一致)． 两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限． 辨误区 象限与坐标轴 (1)理解“象限”的概念时，要注意它们是按“逆时针”方向，不要弄错方向． (2)“坐标轴”上的点不属于任何一个象限． 【例1】 下面是平面直角坐标系的为(　　)． 解析：A选项中x轴与y轴不互相垂直，故排除；B选项中两数轴的交点不对，故B项也不正确；D选项中没有标明坐标原点及x轴与y轴等，故也排除． 答案：C 释疑点 坐标系中的单位长度 平面直角坐标系两坐标轴上的单位通常取一致的，但是根据所要表达的实际意义，也可以取不一致的单位，但是同一坐标轴上的单位必须是一致的． 2.点的坐标 (1)在平面直角坐标系中，已知点M，过点M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别在x轴、y轴上的点表示的数是a，b，那么有序实数对(a，b)就叫做点M的坐标，其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标(如图1所示)． 图1 图2 (2)有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．如图2，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足P在x轴上的坐标为3，垂足Q在y轴上的坐标为4，所以点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3,4)就是点A的坐标，同理点B的坐标是(－2，－4)． 谈重点 有序数对与平面内的点 已知点P(x，y)，它的横坐标x和纵坐标y的顺序是不能任意交换的，A(3,2)和B(2,3)表示两个不同的点．对于坐标平面内的任意一点P，存在唯一的一对有序实数(x，y)和它对应；反过来，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面内有唯一的P点和它对应．这里，(x，y)称为点P的坐标，x是横坐标，y是纵坐标，x写在前，y写在后． 【例2】 写出图中A，B，C，D，E，F，O各点的坐标． 分析：首先确定横坐标，方法是从该点向x轴作垂线，垂足对应的点即为该点的横坐标，如点A的横坐标为2.再从该点向y轴作垂线，垂足对应的点为该点的纵坐标，如点A的纵坐标为3.其他点依此类推． 解：观察图形，由网格可得A(2,3)，B(3,2)，C(－2,1)，D(－1，－2)，E(2.5,0)，F(0，－2)，O(0,0)． 点评：(1)坐标平面内的点的坐标是一对有序实数；(2)不同的点对应着不同的坐标． 3．点的坐标特征 (1)象限内的点：若用“＋”表示正数，“－”表示负数，则第一象限内的点的坐标为(＋，＋)，第二象限内的点的坐标为(－，＋)，第三象限内的点的坐标为(－，－)，第四象限内的点的坐标为(＋，－)． (2)坐标轴上点的坐标的特点：x轴上点的纵坐标为0，x轴上的点一般记为(x,0)；y轴上的点的横坐标为0，y轴上的点的坐标一般记为(0，y)；原点坐标为(0,0)． (3)和坐标轴平行的直线上的点的坐标的特点：和x轴平行的直线上各点的纵坐标相同，和y轴平行的直线上各点的横坐标相同． (4)两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点：第一、三象限平分线上的点的横、纵坐标相等，该角平分线上的点的坐标一般记为(a，a)；第二、四象限平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，该角平分线上的点的坐标一般记为(b，－b)． (5)关于坐标轴、原点对称的点的坐标特点：设点P1(a，b)是坐标平面上任意一点，则它关于x轴的对称点P2的坐标为(a，－b)，关于y轴的对称点P3的坐标为(－a，b)，关于原点对称的点P4的坐标是(－a，－b)． (6)点P(a，b)到x轴的距离为|b|，点P(a，b)到y轴的距离为|a|，点P(a，b)到原点的距离为a2＋b2. 【例3－1】 若点M(1,2a－1)在第四象限内，则a的取值范围是__________． 解析：因为第四象限内点的坐标特征是x＞0，y＜0，所以2a－1＜0，因此，a＜12. 答案：a＜12 【例3－2】 若点P(m＋3，m＋1)在x轴上，则P点的坐标为(　　)． A．(0，－4) B．(2,0) C．(4,0) D．(0，－4) 解析：由于点P(m＋3，m＋1)在x轴上，所以m＋1＝0，即m＝－1，因而m＋3＝2，故点P的坐标为(2,0)，应选B. 答案：B 析规律 象限内点的坐标的符号 在根据点所在象限确定字母取值时，先根据各象限内点的坐标特点确定横纵坐标的正负，然后列出不等式解答，同时也可利用这一特点由点的坐标确定点