§高斯公式与斯托克斯公式.docVIP

§3 高斯公式与斯托克斯公式 教学目的 学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分． 教学内容 高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件． (1) 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分． 懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件． (2) 较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧． 教学建议 本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边界定向的关系． 教学程序 一、 高斯公式 定理22．3 设有空间区域由分片光滑的双侧闭曲面围成．若函数在上连续，且具有一阶连续偏导数，则 =， 其中取外侧．称为高斯公式. 证 只证=. 类似可证=和=. 这些结果相加便得到了高斯公式． 先设是一个型区域，即其边界曲面由曲面 ：，：， 及垂直于的边界的柱面组成其中．于是按三重积分的计算方法有 = = = = = 其中都取上侧．又由于在平面上投影区域的面积为零，所以 ， 因此 =+ = 对于不是型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个型区域来讨论．详细的推导与格林相似． 空间区域的体积公式： =． =. 例1 计算,其中是边长为的正立方体表面并取外侧． 解 应用高斯公式，所求曲面积分等于 ===. 二、斯托克斯公式 双侧曲面的侧与其边界曲线的方向的规定：右手法则． 定理22.4 设光滑曲面的边界是按块光滑的连续曲线．若函数在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则 =（2） 其中的侧与的方向按右手法则确定． 证明 先证 =， （3） 其中曲面由方程确定，它的正侧法线方向数为，方向余弦为，所以 ，， 若在平面上投影区域为，在平面上的投影曲线为．现由第二型曲线积分的定义及格林公式有 ==. 因为=，所以 =. 由于，从而 = = = =. 综合上述结果，便得所要证明的（3）式． 同样对于曲面表示为和时，可证得 =， （4） = . （5） 将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式． 如果曲面不能以的形式给出，则可用一些光滑曲线把分割为若于小块，使每一小块能用这种形式来表示．因而这时（2）式也能成立． 公式(2)称为斯托克斯公式，也可写成如下形式： =. 例2 计算，其中为平面与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向． 解 应用斯托克斯公式 = ==． 单连通区域：如果区域内任一封闭曲线皆可以不经过以外的点收缩于属于的一点，则称为单连通区域．非单连通区域称为复连通区域． 定理 22.5 设为空间单连通区域．若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的： （ⅰ）对于内任一按段光滑的封闭曲线，有 =0． （ⅱ）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分 与路线无关．只与的起点及终点有关。 （ⅲ）是内某一函数的全微分，即 . （ⅳ），，在内处处成立． 证明 略 例3 验证曲线积分与路线无关,请求该表达式的原函数． 解 由于，，， 故===1，所以曲线积 分与路线无关．现求 = =++ = =. 取，即取为原点，则=． 作业 p295: 1;2;3;4;5. 《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 石家庄经济学院数理学院 1