§置换的奇偶性.docVIP

§1.5 置换的奇偶性 引理5.1 若k,l≥0，且字母a,b,ci,dj是互不相同的，则（ab）（ac1…ckbd1…dl）=（ac1…ck）（bd1…dl），（ab）（ac1…ck）（bd1… dl）=（ac1…ckbd1…dl）。 定义5.2 设α∈Sn,且α=β1β2…βt是完全分解，定义α的符号函数为sgn(α)=(-1)n-t。 注：1、对1-轮换，α=（1）（2）…（n）对t=n，从而sgn(α)=1； 2、α是一个对换，则他移动两个数固定n-2个数，则t=n-1 ∴sgn（α）=-1 例5.3：（1）设α=，求sgn（α） （2）设τ（12）,α=（135）（24）,β=（132）（45），求sgn（τα）,sgn（τβ），且找出sgn（α）与sgn（τα）关系，sgn（β）与sgn（τβ）关系 解：（1）sgn（α）=（-1）9-5=1 （2）τα=（13524） τβ=（13）（2）（45） sgn（τα）=（-1）5-1=1 sgn（τβ）=（-1）5-3=1 sgn（α）=-1 sgn（β）=-1 引理5.4 若α,τ∈Sn，其中τ是一个对换，则 sgn(τα)=-sgn(α) 证：设α=β1β2…βt是完全分解，设τ=（ab） 若a,b出现在同一个β里，不妨设出现在β1中，则β=(ac1…ckbd1…dl)，其中k,l≥0 由引理5.1 τβ=（ac1…ck）（bd1…dl） ∴sgn（τα）=-sgn（α） 类似可证得a,b分别出现在两轮换中的情况。 定理5.5 对α,βSn,则sgn(αβ)=sgn(α)sgn(β) 证：假设给定αSn,α可以分解成m个对换的合成，α=τ1…τm下面用归纳法证明 m=1时，α是一个对换 由定理5.4知 结论成立 假设对m-1情形，结论成立 sgn(αβ)=sgn(τ1τ2…τmβ) =-sgn(τ2τ3…τmβ)=-sgn(τ2…τm)sgn(β) =sgn(τ1τ3…τm)sgn(β)=sgn(α)sgn(β) ∴结论成立 推论5.6 α1α2…αkSn,sgn(α1α2…αk)sgn(α1 )… sgn(αk) 定理5.7 称置换αSn为偶置换，若sgn(α)=1，称置换αSn为奇置换，若sgn(α)=-1,α和β同奇偶性，若它们都是奇置换或都是偶置换。 ★恒等变换为偶置换 例5.8：判断下列置换的奇偶性 ⑴α,βS7 α =(13)(24) β=(12)(23)(34) ⑵γS8 γ=(367)(48) 解：⑴α=(13)(24)(5)(6)(7) sgn(α)=(-1)7-5=1——偶 sgn(β)=-1——奇 ⑵γ=(367)(48)(1)(2)(5) sgn(γ)=(-1)8-5=-1——奇 定理5.8 设αSn,若α是偶置换，则α是偶数个对换的合成若α是奇置换，则α是奇数个对换的合成 证：若α=τ1τ2…τq是一些对换的合成 由推论5.6知sgn(α)=sgn(τ1)sgn(τ2)…sgn(τq)=(-1)q ∴若α是偶置换，即sgn(α)=1则q是偶数 若α是奇置换，即sgn(α)=-1则q是奇数 注：α与α-1 同奇偶性。 推论 设α，β∈ Sn，若α，β同奇偶性，则αβ是偶置换;若α，β奇偶性不同，则αβ是奇置换。 例5.11 ：写出S3中，所有的奇置换和所有的偶置换。 解：所有置换 （1）（2）（3） （1）（23） （12）（3） （13）（2） （123） （132） 奇置换有 （1）（23） （12）（3） （13）（2） 偶置换有 （1）（2）（3） （123） （132） 定理5.10 在Sn 中，奇置换与偶置换各有。 证：设Sn 中，全体偶置换的集合为An,全体奇置换的集合为Bn 设τ=（12） 定义：f：An→Qn α→τα 下证f是双射。 α，β∈Sn , α≠β,则τα≠τβ ∴f是单射 对β∈Qn ，β=（1）β=τ2β=τ(τβ)，且τβ∈An ∴f是满射 ∴f是双射 又 从而 命题5.11 r-轮换是偶置换r是奇数。 证： 设α=（i1i2……ir）是一个r-轮换，则α=（i1i2）（i2i3）…… （ir-1i