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§第5讲 方程型综合题 【例1】如图，圆心在Rt△ABC斜边AB上的半圆切直角边AC、BC于M、N，其中AC=6，BC=8，求半圆的半径． 【例2】有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长． 【例3】已知⊙O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB中点，且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长． 【例4】 如图，，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若AD=，且AB的长是关于的方程的两个实数根． （1）求⊙O的半径．（2）求CD的长． 【例5】已知关于的方程的两根是一矩形两邻边的长． （1）取何值时，方程有两个实数根？ （2）当矩形的对角线长为时，求的值． 【例6】已知，如图，C为半圆上一点，，过C作直径的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F． （1）求证：AD=CD； （2）若DF=，tan∠ECB=，求PB的长． 【例7】如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题： （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）当∠ABC=30°，BG=2，CG=4时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程． （3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF·DO成立？试写出你的猜想，并说明理由． 【例8】如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 例1．分析：设半径为R，（一个未知数建立一个方程即可），连OM、ON、OC， 则OM=ON=R，用面积，S△AOC+S△BOC=S△ABC， 得6R+8R=6×8（一元一次方程） 14R=48， R= 例2、分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8 AB=10．由题意知 ACD≌△AED∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6， 设CD=x，则DE=x，而EB=4， 一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程． ∴在Rt△DEB中，（8-x）2=x2+42， 64-16x+x2=x2+16， 16x=48， x=3（cm）． 例3∵CE：ED=1：4， ∴设CE=x，则ED=4x，由相交弦定理得 CE·ED=AE·EB， 即x·4x=2×2， 4x2=4， x=1． ∴CD=x+4x=5x=5． 例4．分析与解答 本题是一道方程与几何相结合的造型题，综合考查了切割线定理、根与系数的关系、一元二次方程的解法、勾股定理知识． （1）∵AD是⊙O的切线，∴． 又，∴． ∵AE、AB的长是方程的两个实数根， ∴，∴， 把代入方程，解得．∴AE=2，AB=6． ∴⊙O的半径为 （2）∵CB⊥AB，AB经过圆心O，∴CB切⊙O于点B，∴CD=CB． 在Rt△ABC中，设，由勾股定理得， ∴，解得．∴． 例5、（1）要使方程有两个实数根，必须△≥0， 即[-（k+1）]2-4（k2+1）≥0， 化简得：2k-3≥0，解之得：k≥． （2） 解之得：k1=2，k2=-6 由（1）可知，k=-6时，方程无实数根，所以，只能取k=2． 例6、（1）证明：连结AC，∵，∴∠CEA=∠CAE． ∵∠CEA=∠CBA，∴∠CBA=∠CAE， ∵AB是直径，∴∠ACB=90°， ∵CP⊥AB，∴∠CBA=∠ACP， ∴∠CAE=∠ACP，∴AD=CD． （2）解：∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP， ∴∠DCF=∠CFD，∴AD=CD=DF=， ∵∠ECB=∠DAP，tan∠ECB=，∴tan∠DAP==， ∵PD2+PA2=DA2，∴DP=，PA=1，∴CP=2， ∵