§不等式及其基本性质.docVIP

PAGE 12 PAGE 64 §2.2　不等式及其基本性质 预备知识 ?数与式的基本运算 ?数轴 重点 ?比较两个实数的大小 ?不等式的解集 难点 ?不等式的基本性质 ?比较式的大小 学习要求 ?了解不等式的概念， ?熟练应用不等式的基本性质解题 　　1. 不等式及其基本性质 　　我们先用天平来做两个实验． 　　实验1： 　　在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g的砝码，观察天平平衡的情况． 当天平处在平衡状态，说明两端的 (天平实验图) 重量是相等的；当天平处在不平衡状态， 则两端的重量不等．在实验中你可以观 察到： 　　(1)天平平衡是可能的； 图2-11(2) 图2-11(1) 　　(2)天平不平衡状态是经常发生的， 所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡 状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系． 　　在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“?”或“(?)”、“(?)”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“(?)”、“(?)”表示的不等量关系．用符号“(?)”、“(?)”表示量之间不等关系的式子，称为不等式． 用x表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x1，读作x大于1；图2-11(2)表示x2，读作x小于2． 课内练习1 1.请你用“(?)”、“(?)”表示你在实验中出现的不等量关系． 2.字母a,b,c,d,e,f所表示的数如图所示．用“(?)” 、“(?)”连接任意两 -5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 d e c f a b ? ? ? ? ? ? 第2题图 个字母． 实验2： 选图2-11中天平一种不平衡态． 　　(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如 　　 ? 7+35+3(即108)； 75 　　　 　　　? 7+(3?3-3)5+(3?3-3)(即1311)； 　　　　　　 ? 7-95-9(即-2-4)． (2)在天平两端以同样倍数增加重量，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质2：不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变．例如 　　75 ? 7?25?2 (即1410)； 75 ? 7?25?2 (即3.52.5)； 　　　　 75 ? 7?x5?x, x0． 但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数，情况会怎样呢？请你和我一起验证： 　　 75 ? 7?(-2)5?(-2)(即-14-10)； 　　 5-7 ? 5?(-5)(-7)?(-5)(即-2535)； -3-2 ? (-3)?(-4)(-2)?(-4)(即)． 这是不等式的基本性质3：不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号方向变向． 课内练习2 1. 因为35，所以 (1)3+2 5+2，根据 ； (2)3+(-2) 5+(-2)，根据 ． 2. 因为42，所以 (1)4?3 2?3，根据 ； (2)4?(-3) 2?(-3)，根据 ． 3. 用不等式表示下面的文字意思： (1)x与3的差大于0； (2)y与5的和小于1； (3)y的3倍不小于6． 4. 利用不等式的基本性质填空： (1)不等式x+30的两边同减去3后，不等式成为　　　　　　　； (2)不等式y+62y-4的两边同加上4后，不等式成为　　　　　　　　　； (3)不等式x+7-9的两边同乘以2后，不等式成为　　　　　　　； (4)不等式9x+1818x+6的两边同除以9后，不等式成为　　　　　　　； (5)不等式-x+7-9的两边同乘以-2后，不等式成为　　　　　　　； (6)不等式9x+18-18x+6的两边同除以-9后，不等式成为　　　　　　． 根据不等式基本性质1，对于任意两个实数a,b，有　　　 ab ? a-b0； 　　ab ? a-b0； a=b ? a-b=0． (这里的记号“?”表示可以从左边关系，导出右边的关系，也可从右边关系，导出左边的关系)因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小． 例1　比较和的大小．