[教案精品]新课标高中数学人教A版必修全册教案平面向量数量积的物理背景及含义.docVIP

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入： （1）两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180? （2）两向量共线的判定 （3）练习 1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ） A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 （4）力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角. 二、讲解新课： 1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ， 则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ?探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？ 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？ （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定. （2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0. （4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c 如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但a ? c (5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线. 2．“投影”的概念：作图 定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0； 当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|. 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. 探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量， 1、a?b ? a?b = 0 2、当a与b同向时，a?b = |a||b|； 当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或 |a?b| ≤ |a||b| cos? = 探究：平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ? b = b ? a 证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2．数乘结合律：(a)?b =(a?b) = a?(b) 证：若 0，(a)?b =|a||b|cos?， (a?b) =|a||b|cos?，a?(b) =|a||b|cos?， 若 0，(a)?b =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?，(a?b) =|a||b|cos?， a?(b) =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?. 3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 ∴| c | |