海南省嘉积中学09-10届高三上学期期末考试(数学理解析).docVIP

2009—2010学年度第一学期高中教学质量监测（四） 高三数学科参考答案（理） 一、选择题（每小题5分，满分60分） 题号123456789101112答案ABCBDCADBCDA二．填空题（每小题5分，满分20分） 13. ； 14. ; 15. ； 16. 1，1 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 如图，点是单位圆上的两点，点分别在第一、二象限，点是圆与轴正半轴的交点，是正三角形，若点的坐标为，记. （1）求的值； （2）求的值. 解：（1）点的坐标为，，………3分 ………3分 （2）是正三角形， ………3分 ………3分 18.(本小题满分12分) 在等比数列中，，公比，且 与的等比中项为2. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，当最大时，求的值. 解：（1）等比数列中， ，又，………2分 又与的等比中项为2，，而公比，………2分 ………2分 （2），，数列是首项为4，公差为的等差数列 ………3分 当时；当时；当时 当时，最大. ………3分 19.(本小题满分12分) 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，为上的点. （1）求证：无论点在上如何移动，都有； （2）若//平面，求二面角的余弦值. 解法一（1）证明：以为坐标原点，的方向为轴的正半轴建立如图所示的空间坐标系，………1分 设， 则，………2分 ， 无论点在上如何移动，都有………3分 （2）连接，设，连接. //平面，平面平面//，………1分 是的中点，是的中点，，……1分 设平面的法向量为，则， 取，得，易知平面的法向量为………2分 ， 设二面角的平面角为，依题知，. 二面角的余弦值为.………2分 解法二（略） 20.(本小题满分12分) 已知向量，动点到定直线的距离等于，并且满足，其中为坐标原点，为非负实数. （1）求动点的轨迹方程； （2）若将曲线向左平移一个单位，得曲线，试判断曲线为何种类型； （3）若（2）中曲线为圆锥曲线，其离心率满足，当是曲线的两个焦点时，则圆锥曲线上恒存在点，使得成立，求实数的取值范围. 解：（1）设动点，则由，为坐标原点，得 ………2分 由，得为所求的动点的轨迹方程；……2分 （2）将曲线向左平移一个单位，得曲线的方程为（）………1分 ①当时，得，曲线为一条直线；………1分 ②当时，得.若，曲线为圆；若，曲线为双曲线；若，曲线为焦点在轴上的椭圆；………3分 （3）若（2）中曲线为圆锥曲线，其离心率满足，则曲线为焦点在轴上的椭圆， 圆锥曲线上恒存在点，使得成立， 即以为直径的圆与椭圆恒有交点. 综上得实数的取值范围为.………3分 21.(本小题满分12分) 已知是函数的一个极值点. （1）求实数的值； （2）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围； （3）当时，函数的图像在处的切线与轴的交点是. 若问是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 解：（1） 又是函数的一个极值点，………2分 （2）由（1）得 ①当时，函数恰有一个零点，；………2分 ②当时，，当变化时，与的变化情况如下表： +-+单调递增极大值单调递减极小值单调递增由上表知函数的极大值为，又，根据的图像变化知， 当函数恰有一个零点时，或.………2分 综上，当时，实数的取值范围为； 当时，实数的取值范围为.………1分 （3）， ，函数的图像在处的切线方程为………1分 又切线与轴的交点是， 整理得 （*） ，代入（*）式整理得………1分 又，，是以2为首项，2为公比的等比数列，.………1分 假设存在等差数列，使得对一切正整数都有 ① 当时， ② ①-②得………1分 又，满足 ，即是等差数列. 存在等差数列，使得对一切都成立. ………1分 四、选考题（本题满分10分，请从所给的三道题中任选一题做答，并在答题卡上填写所选题目的题号，如果多做，则按所做的第一题记分.） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，是圆的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线于点. 求证：（1）； （2） 证明：（1）连接，是圆的直径，， 即；又垂直的延长线于点，即 四点共圆，………5分 （2）四点共圆， ① 连接，则∽， ② 由①②得………5分 23．（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程 已知圆方程为. （1）求圆心轨迹的参数方程； （2）点是（1）中曲线上的动点，求的取值范围. 解：（1）圆方程化为，其圆心为，半径为 圆心轨迹的参数方程为 （为参数, ）化为普通方程……5分