数字信号处理时域离散随机信号处理(丁玉美).PPTVIP

第三章 自适应数字滤波器 3.1 引言 3.2 自适应横向滤波器 3.3 自适应格型滤波器 3.4 最小二乘自适应滤波 3.5 自适应滤波的应用 3.1 引 言 　　自适应数字滤波器和维纳滤波器一样，都是符合某种准则的最佳滤波器。维纳滤波器的参数是固定的，适用于平稳随机信号的最佳滤波，但要设计这种滤波器，必须要求输入信号是平稳的，且具有信号和噪声统计分布规律的先验知识。在实际中， 常常无法知道这些先验知识，且统计特性还会变化，因此实现最佳滤波是困难的。 　　自适应滤波器的特点是：滤波器的参数可以自动地按照某种准则调整到最佳滤波；实现时不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要。 常常将这种输入统计特性未知，调整自身的参数到最佳的过程称为“学习过程”。 将输入信号统计特性变化时，调整自身的参数到最佳的过程称为“跟踪过程”，因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能。 由于自适应滤波器有这些特点，自1967年威德诺(B.Widrow)等人提出自适应滤波器以来，在短短十几年中，自适应滤波器发展很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡， 雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪声中信号的检测、跟踪、 增强和线性预测等。 3.2 自适应横向滤波器 自适应滤波器的原理框图如图3.2.1所示，图中x(n)称为输入信号，y(n)是输出信号，d(n)称为期望信号，或者称为参考信号、训练信号，e(n)是误差信号。 其中 e(n)=d(n)-y(n) 自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应算法，不断地进行改变， 使输出y(n)最接近期望信号d(n)。 这里暂时假定d(n)是可以利用的，实际中，d(n)要根据具体情况进行选取， 能够选到一个合适的信号作为期望信号，是设计自适应滤波器的一项有创意的工作。如果真正的d(n)可以获得， 我们将不需要做任何自适应滤波器。 图 3.2.1 自适应滤波器原理图 3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR滤波器 1. 自适应滤波器的矩阵表示式 图 3.2.2 表示的是一个有N个权系数的自适应线性组合器， 图中N个权系数w1,w2,…,wN受误差信号ej的自适应控制。对于固定的权系数，输出yj是输入信号x1j,x2j,…,xNj的线性组合，因此称它为线性组合器。这里的x1j,x2j,…,xNj可以理解为是从N个不同的信号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统， 也可以是同一个信号源的N个序贯样本，如图 3.2.3 所示。因此它是一个单输入系统， 实际上这种单输入系统就是一个FIR网络结构， 或者说是一个自适应横向滤波器。其输出y(n)用滤波器的单位脉冲相应表示成下式： (3.2.1) 图 3.2.2 自适应线性组合器 图 3.2.3 自适应FIR滤波器 这里w(n)称为滤波器单位脉冲响应，令：i=m+1,wi=w(i-1), xi=x(n-i+1)，n用j表示，上式可以写成 (3.2.2) 这里wi也称为滤波器加权系数。用上面公式表示其输出，适合于自适应线性组合器，也适合于FIR滤波器。将上式表示成矩阵形式： (3.2.3) 式中 误差信号表示为 (3.2.4) 2. 利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差 误差信号被用来作为权系数的控制信号。下面采用均方误差最小的准则，求最佳权系数。由(3.2.4)式，均方误差为 (3.2.5) 令 (3.2.6) (3.2.7) 将(3.2.6)、 (3.2.7)式代入(3.2.5)式， 得到 (3.2.8) 自相关矩阵的主对角线是输入信号的均方值， 交叉项是输入信号的自相关值。 (3.2.9) 按照(3.2.4)式, 梯度推导如下： (3.2.10) 还可以用(3.2.8)式对W求导得到 (3.2.11) 令上式等于0, 得到最佳权矢量W*的表达式： (3.2.12) 对比第二章维纳滤波器的最佳解，结果是一样的。上式也称为维纳权矢量。当自适应滤波器的权系数满足上式时，均方误差将取最小值。将(3.2.12)式代入(3.2.8)式得到最小均方误差： (3.2.13) 或者将上式取转置，用下式表示： (3.2.14) 我们知道，在维纳滤波器中，当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时， 其误差信号和输入信号是正交的；这里也有相同的结果， 当权矢量取最佳值时，梯度为0，按照(3.2.10)式： 例 3.2.1 一个单输入的二维权矢量自适应滤波器如图 3.2.4所示，图中输入信号与期望信号分别为 这两个信号都是周期性确定性信号，