数学建模培训－微分方程（月）.PPTVIP

数学建模培训－ 微分方程模型 上海第二工业大学理学院 邢丽 2013年3月 一、什么是微分方程？ 最最简单的例子 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。 解 若设曲线方程为　　　　 ， 又因曲线满足条件 根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式： 对（1）式两端积分得： 代入（3）得C＝1 回答什么是微分方程： 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程 二、微分方程的解法 积分方法，分离变量法 可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 例题 过定点的积分曲线; 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 练 习 题 练习题答案 三、建立微分方程数学模型 1、简单的数学模型 2、复杂的数学模型 1、简单的数学模型 利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件； (2) 求出微分方程的通解； (3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解． 实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t). 直接求很困难 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程 建立变量能满足 的微分方程 ？ 哪一类问题 在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关 键词提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” , 常涉及到导数. 建立方法 常用微分方程 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法 机理分析法 建立微分方程模型时 应用已知物理定律， 可事半功倍 一、运用已知物理定律 铀的衰变速度就是 对时间t的导数　　　　 ， 解 因此， 由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足关系式： 对上式两端积分得： 分离变量得 代入初始条件得 所以有， 这就是铀的衰变规律。 例2 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差. 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似. 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为 数学语言 建立微分方程 其中参数k 0，m=18. 求得一般解为 ln(T－m)=－k t+c, 代入条件: 求得c=42 ， , 最后得 该物体温度降至300c 需要8.17分钟. 例3 [刑事侦察中死亡时间的鉴定] 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气 温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴 定。当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律 开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的 温度保持20℃不变，试求出尸体温度随时间的变化规律。又如果尸体 发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？ 解 设尸体的温度为 ，其冷却速度为 ，根据题意， ， 即得微分方程模型 即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的。 另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律． 例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律． 解 可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的． 由题意，得 其中