数学知识函数极限及导数、微积分.PPTVIP

函数及其极限 一、函数概念 1、变量：在某一过程中，数值不断变化的量，称为变量。 变量的变化范围称为变域D，变域常常由区间组成。 例1：从高度为20米的楼顶落下的物体，在下落的过程中，其距地面的高度h 即为一变量。显然：：0≤h≤20。 2、函数概念 设x ,y 为同一变化过程中的两个变量，如果变量x 在其变域D 内任意取定一个值，变量y 都有唯一确定的值与之相对应，就称y 是 x 的函数。x 称为自变量。函数 y 也称为因变量。 在例1中，物体的落下的高度h 显然是 时间t 的函数， f 表示某种确定的关系。 自变量x 的变化范围——函数的定义域 所有函数值y 的集合——函数的值域。 数学函数的定义域，由数学函数表达式确定。 物理函数的定义域，由具体的物理过程确定。 若是数学函数，其定义域为： 若是物理函数，表示圆的面积S与半径r 的关系。其定义域为： 称为多元函数，记为： 例如，两个点电荷 之间的静电力： 二、函数的极限概念（不是数学上的严格定义） 函数的自变量x 趋近于（无限接近于）某一数值x0 时，若函 数f(x) 也趋于某一固定值A。则称A 为x 趋于x0时，函数f(x) 的极限。记为： 例： 从上例知，f(x) 在 x=3 时没有意义，但x→3时，f(x) 的极限可以存在。 三、自变量的增量和函数的增量 在函数y=f(x) 的定义域中，设自变量x 由x0 变到x，相应的函数值由f(x0) 变为f(x) 。则： 四、函数的导数（变化率） 1）、问题的引入：求函数曲线在A点的切线Aτ斜率： 先考虑在曲线上另取一 B点，作割线AB。求 割线AB的斜率。 由图，得割线AB的斜率： 能否以该斜率代替切线τ的斜率，即以割线AB代替切线Aτ？ 以割线代替切线肯定会有误差，误差的大小和Δx的大小有关。 显然，当Δx→0时，B点无限接近A点，即割线AB无限接近切线Aτ。 由此，得计算切线Aτ斜率的方法： 上述极限记为： 可见，数学上提出了这样一种计算要求：计算函数增量Δy与自变量增量Δx之比（商），在Δx趋于零时的极限。 物理学上，也有类似的计算要求（举例）。 2）导数的定义： 综上讨论，得出函数导数的定义，如下： 设函数y=f(x)在x=x0处，自变量增加Δx，即由x0 变为x0+Δx； 相应的函数增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与自变量增量Δx之比， 在Δx→0时的极限，称为函数f(x)在x0的导数。 解：x由x0→x0+Δx时， 从上例可归纳出求函数导数的一般步骤： 1）计算自变量增加Δx时，函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。 3）计算增量比值的极限。 该极限值即称为函数f(x)在x0的导数。 在求导数时，x0 可在函数的定义域内任意取值。因此，导数也是自变量x 的函数，称为导函数。记为： 在大学物理学中，一些物理量之间的关系就是导数关系。 3）导数的几何意义： 从导数的几何意义知：导数反映了函数的变化快慢。 4）基本求导公式： 5）函数的和、差、积、商的导数： 6）复合函数的导数： 7）矢量函数的导数： 五、高阶导数 对导函数继续求导数，所得结果就是原来函数的二阶导数。 类似可定义三阶导数、四阶导数……n阶导数。二阶以上导数统称为高阶导数。 大学物理学中，一般只用到二阶导数。 六、利用导数求极值和极值 设右图为函数f(x)在oxy坐标上的曲线。 曲线上，A、B点的函数值要比它邻近点的函数值要大， 点A、B称为f(x)的极大值点，函数值f(xA),f(xB)称为极大值。 而C点的函数值要比它邻近点的函数值要小，称为f(x)的极小值点。f(xC)称为极小值。 极大值点和极小值点统称为极值点，相应的函数值称为极值。 从图可知，函数曲线在极值点的切线与x轴平行，即，极值点处，函数曲线切线的斜率为零。亦即函数在极值点的一阶导数等于零。 所以，要求函数的极值点，只需求函数的一阶导数，令其为零即可。 极大值：+1；极小值：-1 七、函数的不定积分 1、原函数概念：对于函数f(x)，若有函数F(x)存在，使得在x的定义域上的任一点x。都有： 因常数C的导数等于零。所以，若F(x)是f(x)的原函数，则 F(x)+C也是f(x)的原函数（C是任意常数）。 原函数包含无穷多个函数，这些函数彼此间相差一个常数。 2、不定积分 函数f(x)的所有原函数的全体集合称为f(x)的不定积分。记为： 显然，只要找出f(x)的任一一个原函数F(x)，也就求出了f(x)的所有原函数的整体：F(x)+C 从不定积分的定义知，求不定积分和求导数是互为逆运算的。 直接从求导数公式，可得出求不定积分公式。 3、不定积分的性质 八、定积分 1、定积分的引入：计算曲边梯形面积。 考虑由函数：