平面向量的内积(习题课).docVIP

课题：平面向量的内积（习题课1） 教学重点: 1. 掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. 主观题---以向量的数量积为工具,考查其综合应用,多与函数、三角函数、不等式联系,难度中等. 2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 知识点： 1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos(叫与的数量积，记作(，即( = ||||cos(，并规定与任何向量的数量积为0 向量，的夹角：已知两个非零向量，过O点作，则∠AOB=θ（00≤θ≤1800）叫做向量，的夹角。 当且仅当两个非零向量同方向时，θ=00，当且仅当反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 垂直；如果的夹角为900则称垂直，记作。 平面向量的数量积的几何意义：数量积( 等于的长度与在方向上投影||cos(的乘积. 在方向上的投影：（注意是射影） 所以，的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。 3．两个向量的数量积的性质 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 （1）( = ( =||cos(； （2）( ( ( = 0 （3）当与同向时，( = ||||；当与反向时，( = (||||,特别地( = ||2 （4）cos( = ； （5）|(| ≤ |||| 4.平面向量数量积的运算律 ① 交换律： ( = ( ② 数乘结合律：()( =(() = (() ③ 分配律：( + )( = ( + ( 5.平面向量数量积的坐标表示 ①已知两个向量，,则. ②设，则. ③平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、，那么. ④向量垂直的判定 两个非零向量，，则 . ⑤两向量夹角的余弦 cos( = （）. 二、典型例题 1. 平面向量数量积的运算 例题1 已知; (2) ;(3) 的夹角为,分别求. 解(1)当 时, =或=. (2)当时, =. (3)当的夹角为时, =. 例题2 已知,求 解:= 点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整. 2.夹角问题 例题3 (2005年北京)若,且,则向量与向量的夹角为 ( ) A. B. C. D. 解:依题意 故选C 例题 4 ① 已知,求向量与向量的夹角. ② 已知,夹角为,则 . 解: ① ,故夹角为. ②依题意得. 例题 5 已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角. 法一 解:将两边平方得 , 则, 故的夹角.为. 法二: 数形结合 点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法. 3.向量模的问题 例题6 已知向量满足,且的夹角为,求. 解: ,且的夹角为 ; 例题7 ①(2005年湖北)已知向量,若不超过5,则的取值范围 ( ) A. B. C. D. ②(2006年福建) 已知的夹角为,, ,则 等于( ) A 5 B. 4 C. 3 D. 1 解: ① , 故选C ②, ,解得,故选B 点评:涉及向量模的问题一般利用,注意两边平方是常用的方法. 4.平面向量数量积的综合应用 例题8已知向量. 若 ; (2)求的最大值 . 解:(1)若,则,. (2) == ,的最大值为. 例题9已知向量,且满足, 求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数; 解:(1) , 故 (2) , 故. 张家港市二职中 曹文华