常微分数分.docVIP

P28 8 （1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为。 解：设所求的曲线为，其任意一点为，它的向径为，切线为，如图所示。 向径所在斜率为，切线所在斜率。 得 于是曲线满足的微分方程为 。 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项. 解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 即纵截距为 ，由题意得： 。 P42 1 （6） P49 1 （8） （13） 解：原方程变形为： 这是n=-1时的伯努利方程 令， 得。 P(x)= Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式 = ， 所以。 建议补充 1 (7) 练习 P43 2 （6） 4， 5 P49-50 1 （14） （15） （16） 2 （6） 解： ， 这是齐次方程，令 4 已知的一般表达式. 解：设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得 得 令，得，所以。 5 求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知存在。 解：令t=s=0，x(0)=， 若x(0)0 得x（0）=-1矛盾，所以x(0)=0. 变形为 ， 两边积分得， 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以。 （或）。 P49-50 （14 ） 解：两边同乘以(可以直接令) 令， 这是n=2时的伯努利方程。 令，得 P（x）= Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = = 所以原方程通解为 （为任意常数）。 （15） 解：方程变形为 这是n=3时的伯努利方程。 令， = P(y)=-2y Q(y)= 由一阶线性方程的求解公式 = =（为任意常数） 所以原方程通解为 （16） y=+ 解：两端求导 P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = =（为任意常数） 当，， 可以求出c=1 所以y=。 作业：P49 1 （4） (7) (11) 2 5 试证： （1）一阶非齐次线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解。 （2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数. （3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明： （2.28） （2.3） 设，是（2.28）的任意两个解，则 （1） （2） （1）-（2）得 即是满足方程（2.3），所以，命题成立。 由题意得： （3） （4） 下证是（2.28）的一个解， 得 故是（2.28）的一个解。又因为为任意常数，所以，命题成立。 设，是（2.3）的任意两个解，则 （5） （6） 于是（5）得 即 其中为任意常数 也就是满足方程（2.3）。 （5）（6）得 即 也就是满足方程（2.3），所以命题成立。