2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 抛物线试题 理 北师大版.docVIP

第九章 平面解析几何 9.6 抛物线试题 理 北师大版 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p0) y2＝－2px(p0) x2＝2py(p0) x2＝－2py(p0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 【知识拓展】 1．抛物线y2＝2px (p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－. 3．设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－.(　×　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　) (4)AB为抛物线y2＝2px(p0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　√　) 1．(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　) A．(0,2) B．(0,1) C．(2,0) D．(1,0) 答案　D 解析　∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为， ∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)． 2．(2016·张掖一诊)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　B 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)， 准线方程为x＝－1. 根据题意，可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A. B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 答案　C 解析　Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1. 4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案　y2＝－8x或x2＝－y 解析　设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 5．(2017·合肥月考)已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________． 答案　2 解析　抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－， 圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4. 又因为抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　抛物线的定义及应用 例1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 答案　4 解析　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q， 交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 引申探究 1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值． 解　由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ ＝＝2， 即|PB|＋|PF|的最小值为2. 2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在