2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第2课时 范围、最值问题试题 理 北师大版.docVIP

第2课时　范围、最值问题 题型一　范围问题 例1　(2015·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝. (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围． 解　(1)由已知，有＝， 又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2. 设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)． 由已知，有2＋2＝2，解得k＝. (2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c. 因为点M在第一象限，可得M的坐标为. 由|FM|＝ ＝. 解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1. (3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t， 得t＝，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立， 消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6， 又由已知，得t＝ ＞， 解得－＜x＜－1或－1＜x＜0. 设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－. ①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0， 因此m＞0，于是m＝ ，得m∈. ②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0. 因此m＜0，于是m＝－ ， 得m∈. 综上，直线OP的斜率的取值范围是∪. 思维升华　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 　(2016·黄冈模拟)已知椭圆C：＋＝1(ab0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围． 解　(1)∵双曲线的离心率为， ∴椭圆的离心率e＝＝. 又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为(2,0)，即a＝2，c＝，b＝1， ∴椭圆方程为＋y2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立 消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. 又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列， 故·＝ ＝k2?－＋m2＝0. 由m≠0得k2＝，解得k＝±. 又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1) ＝16(4k2－m2＋1)0，得0m22， 显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)． 设原点O到直线的距离为d， 则S△OMN＝|MN|d ＝···|x1－x2| ＝|m| ＝. 故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)． 题型二　最值问题 命题点1　利用三角函数有界性求最值 例2　(2016·锦州模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　　) A．2 B. C．4 D．2 答案　C 解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4. 命题点2　数形结合利用几何性质求最值 例3　(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_________________________． 答案　 解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为. 命题点3　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 例4　(2016·山东)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线