2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第3课时 定点、定值、探索性问题试题 理 北师大版.docVIP

第3课时　定点、定值、探索性问题 题型一　定点问题 例1　(2016·长沙模拟)已知椭圆＋＝1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点． (1)解　设椭圆的焦距为2c， 由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2， 又a2＝b2＋c2，∴a2＝3. ∴椭圆的方程为＋y2＝1. (2)证明　由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)， N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)， 由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)， ∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1. 同理由＝λ2知λ2＝－1. ∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，① 联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0， ∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)0，② 且有y1＋y2＝，y1y2＝，③ ③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0， ∴(mt)2＝1， 由题意mt0，∴mt＝－1，满足②， 得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点． 思维升华　圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 　(2016·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标． 解　(1)由题意设椭圆方程为＋＝1(ab0)，① 焦点F(c,0)，因为＝，② 将点B(c，)的坐标代入方程①得＋＝1.③ 由②③结合a2＝b2＋c2，得a＝，b＝1. 故所求椭圆方程为＋y2＝1. (2)由得(2＋t2)y2＋2tλy＋λ2－2＝0. 因为l为切线，所以Δ＝(2tλ)2－4(t2＋2)(λ2－2)＝0， 即t2－λ2＋2＝0.④ 设圆与x轴的交点为T(x0,0)， 则＝(－－x0，y1)，＝(－x0，y2)． 因为MN为圆的直径， 故·＝x－2＋y1y2＝0.⑤ 当t＝0时，不符合题意，故t≠0. 因为y1＝，y2＝， 所以y1y2＝，代入⑤结合④得 ·＝ ＝， 要使上式为零，当且仅当x＝1，解得x0＝±1. 所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(－1,0)与(1,0)， 即椭圆的两个焦点． 题型二　定值问题 例2　(2016·广西柳州铁路一中月考)如图，椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. (1)当|CD|＝时，求直线l的方程； (2)当点P异于A，B两点时，求证：·为定值． (1)解　∵椭圆的焦点在y轴上， 故设椭圆的标准方程为＋＝1(ab0)， 由已知得b＝1，c＝1，∴a＝， ∴椭圆的方程为＋x2＝1. 当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，与题意不符； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1， C(x1，y1)，D(x2，y2)． 联立化简得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0, 则x1＋x2＝－，x1·x2＝－. ∴|CD|＝ ＝· ＝＝， 解得k＝±. ∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. (2)证明　当直线l的斜率不存在时，与题意不符． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0，k≠±1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)， ∴点P的坐标为(－，0)． 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝－， 且直线AC的方程为y＝(x＋1)， 直线BD的方程为y＝(x－1)， 将两直线方程联立，消去y， 得＝. ∵－1x11，－1x21，∴与异号， ()2＝ ＝· ＝ ＝＝()2， y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝k2(－)＋k(－)＋1 ＝－， ∵与y1y2异号，∴与同号， ∴＝，解得x＝－k， 故点Q的坐标为(－k，y0)， ·＝(－，0)·(－k，y0)＝1， 故·为定值． 思维升华　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利