2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线试题 理 北师大版.docVIP

第九章 平面解析几何 9.7 双曲线试题 理 北师大版 1．双曲线定义 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 其中a，c为常数且a0，c0. (1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a0，b0) －＝1(a0，b0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (ca0，cb0) 【知识拓展】 巧设双曲线方程 (1)与双曲线－＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn0)． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　) (2)方程－＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　) (3)双曲线方程－＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　) (5)若双曲线－＝1(a0，b0)与－＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　√　) 1．(教材改编)若双曲线－＝1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　) A. B．5 C. D．2 答案　A 解析　由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2. ∴e2＝＝5，∴e＝. 2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　) A. B．2 C．4 D．8 答案　C 解析　设C：－＝1. ∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4，得A(－4，)，B(－4，－)， ∴|AB|＝2＝4， ∴a＝2，∴2a＝4. ∴C的实轴长为4. 3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C.－x2＝1 D．y2－＝1 答案　C 解析　由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C. 4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________． 答案　2 解析　由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2. 5．双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________． 答案　 解析　双曲线的一个顶点坐标为(2,0)， 一条渐近线方程是y＝x，即x－2y＝0， 则顶点到渐近线的距离d＝＝. 题型一　双曲线的定义及标准方程 命题点1　利用定义求轨迹方程 例1　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________． 答案　x2－＝1(x≤－1) 解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝ |MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a＝1，c＝3，则b2＝8. 故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 命题点2　利用待定系数法求双曲线方程 例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)焦距为26，且经过点M(0,12)； (3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)． 解　(1)