下册数学培优资料相交线与平行线教师版[].docVIP

七年级下册数学培优资料—— 相交线与平行线 例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。 解：∵　a∥b， ∴　∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） ∵　∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义) ∴　∠1＝∠2 (等式性质) 则　3x+70＝5x+22　解得x=24 即∠1＝142°　 ∴　∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。 例2．已知：如图(2)， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。 解：∵AB∥EF∥CD ∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知） 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质） ∵∠B-∠D=24°（已知） 图(2) ∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG平分∠BEF（已知） ∴∠GEF=∠BEF=30°（角平分线定义） 例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。 解：过E作EF∥AB ∵　AB∥CD（已知） ∴　EF∥CD（平行公理） ∴　∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等） ∵　∠DEB=∠DEF-∠BEF ∴　∠DEB =∠D-∠B=30° 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（3） 例4．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解：2条直线产生1个交点， 第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点； 第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点； … 则　n条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)=n(n-1) 评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。 例5．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？ 解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。 另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条 评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=n(n-1) 例6．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 　　　 解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域； 3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域； 同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域； … ∴ 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域 推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)块不同的区域 思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 直线的条数 3 4 5 ... n 对顶角的对数 6 12 20 ... n(n-1) 邻补角的对数 12 24 40 ... 2n(n-1) 例7．两条直线相交于一点，所形成的的角中有2对对顶角，4对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？n条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？ 二、巩固练习 1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（　　）条 A．6　B． 7　　C．8　　D．9 2．平面上三条直线相互间的交点个数是　　　（　　） A．3　　B．1或3　　C．1或2或3　　　D．不一定是1，2，3 3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（　　） A．36条　　B．33条　　C．24条　　D．21条 4．已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外