小学奥数36个经典（33-36）.docVIP

第33讲 计数综合（二） 内容概述 利用对应法求解的计数问题所谓对应法即建立起所考察对象和另一类对 典型问题 2. 小明有10块大白兔奶糖从今天起每天至少吃一块那么他一共有多少? [分析与解] 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列如果在其中9个lO块糖分成了两部分． 我们记从左至右第1部分是第1天吃的第2部分是第2天吃的…， 如表示第一天吃了3粒第二天吃了剩下的7 ○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒第二天吃了3粒第三3粒． 不难知晓每一种插入方法对应一种吃法而9个间隙每个间隙可以插人也可29=512种不同的插入方法即512种不同的吃法．4. 在8×8的方格表中取出一个如图331所示的由3个小方格组成的“L”? 【分析与解】 观察发现对于每个“L”形都有一个点M与其对应而每个22的方格中点都对应4个不同的“L” 在8×8的方格中类似M点的交叉点有7×7=49个(不包括边上的交叉)．所以共有“L”形4×49=196种不同的取法． 评注通过上面两个范例我们知道当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候可考虑采用相等的原则把问题转化成求另一个集合的元素个数． 6有一批规格相同的均匀圆棒每根划分成相同的5节每节用红、黄、蓝3? 【分析与解】 左右倒置，即 有可能与 是同种情况． 不难得知当原棒上的5节对称时3种颜色可选故有3×3×3=27种不同的染法．B、C、D、E也各有33×3×3×3×3=243种不同的染法．所以,其中不对称有243-27=216种不对称的 了,而对称的 没有重复计算． 所以共有216÷2+27=135种实质不同的着色方式．8. 如图333,八面体有12条棱6个顶点一只蚂蚁从顶点A出发沿棱爬行要求恰好经过每个顶点一次问共有多少种不同的走法? 【分析与解】 ABAD,AE,AF,这4类走法每类走法的种数一多所以只用考察AB的后续步骤有多少种： ECDF，BECFD,BEDFC,BEDCF, BFDEC，BFDCE，BFED，BFCE, BCEDF，BFDE(从BC后三时针只用2种)共10种． 所以从A点出发共有10×4=40种不同的满足题中条件的走法10. 某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木每个面分别涂上红、黄、蓝? 【分析与解】 总可以使下底面为红色．如果上底面也是红色通过翻过可以使前面为黄色左面不是黄色这时后面可以是黄色也可以是蓝色有2种． 如果上底面不是红色通过旋转可以使后面为红色这时又分两种情况： (1)前面与上面同色2种． (2)前面与上面不同色通过翻动可以使上面为黄色前面为蓝色这时右面可以是黄色也可以是蓝色，有2种． 因此共可涂成2+2+2=6种不同的积木块．12.有8个队参加比赛采用如图334所示的淘汰制方式问在比赛前? 【分析与解】 我们标上字母如下图． 如果全排列为=8因为AB；BA实质赛程一样；同理CD,E/F,G/H,I/J,K/L,M/N均是所以除以7个2． 于是共有8÷27=315种实质不同的赛程安排．14. 游乐园的门票1元1张每人限购1张现在有10个小朋友排队购票5个小朋友只有1元的钞票另外5个小朋友只有2元的钞票售票员没有? 【分析与解】 方法一按第一个带2元钞票的小朋友前面有几个小朋友来确 ①带1元的5个小朋友都排在前边即1111l22,只有1种情况； ⑦带1元的小朋友有4个排在前面即11112122221111221222,1111222122,1111222212，共有4种情况； ③带1元的小朋友有3个排在前边如1112112222…，共有9种情况； ④带1元的小朋友有2个排在前边如1121112222…，共有14种情况； ⑤带1元的小朋友只有1个排在前边如1211112222，…，共有14种情况． 五个方案共有1+49+14+14=42(种)情况． 因为10个小朋友互不相同所以每种情况有5×5！=14400(种)排队方42×14400=604800种排队方法使售票员总能找 方法二如下左图先将拿1元的小朋友看成相同的2元的小朋友看成相同l元的小朋友每条小竖线代表拿2元的小 从A到的不论在网格中的何点均有横线数不小于竖线数． 相当于求A到B的走法： 我们再由上右图知从A的走法有42种． 因为各个小朋友都是不同的所以共有42×5×5