江苏省南京市第一中学2014年高三12月月考数学试题附解析.docVIP

2013～2014学年度12月考联考试卷 高三数学2013.12.16 一、填空题：（ 共14小题，每小题5分，共70分） 1、已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x1}，则A∩B＝若复数，则在复平面内，z对应的点坐标是阅读下面的流程图，若输入a＝，b＝，则输出的结果是 ． 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图1－1所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 5、盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________． 中，其前项和，若， 则的值为 . 7、已知实数满足且目标函数 的最大值是，则的最大值为 8、函数 (的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为= 9、函数 （，则“”是“函数为奇函数” 的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写） 10、将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=，则三棱锥D-ABC的体积为__________. 11、过点(，0)引直线与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为 上的可导函数的导函数满足：，且则不等式的解是 ． 14、在平面四边形中，点分别是边的中点，且，．若 ，则的值为 ． 二．解答题（共六大题，90分） 15、(本小题满分1分) 中，角所对的边分别为 且．（）求角的大小；（）若向量，向量，，，求的值． 的底面中,,,,是的中点，D是AC的中点 ，是的中点 , (1)证明：平面； （2）试证： 17、（本小题满分14分）已知函数（）. (I)若的定义域和值域均是，求实数的值； (II)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围. 18、（本题满分为16分） 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度成正比，与它的厚度的平方成正比，与它的长度的平方成反比. (Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为且翻转前后的比例系数相同，都为同一正常数） (Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为为多少时，可使安全负荷最大？ 19、（本题满分为16分）椭圆 的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为(1)求椭圆C的方程；(2)点是上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为k的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值．已知 （）对一切，恒成立，求实数的取值范围； （）当时，求函数在 上的最值； （）证明：对一切，都有成立。－1，0}(4，－2)480 5. 6. 3 7. 8. 3 9. 充要 10. 11.－ 13. 14. 13.5 二．解答题 15．(本小题满分1分) 中，角所对的边分别为 且．（）求角的大小；（）若向量，向量，，，求的值． 解：（）∵ ∴， ∴，∴……………5分 ∴ ……………7分 （）∵ ∴，即………………又，∴，即② ……… 由①②可得，∴ ………………………………又∴，∴…………的底面中,,,,是的中点，是 的中点, (1)证明：平面；（2）试证： 证明：(1)连,为中点，为中点，,…………2分 又平面,平面,平面………………6分 (2) 直三棱柱 平面 平面,……………………7分 又,平面 平面 , 平面 …………………………………………… 9分 在与中， ∽ ………12分 平面 平面 ， 平面…………………14分 17.（本小题满分14分）已知函数（）. (I)若的定义域和值域均是，求实数的值；II)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围. 17.解：(I) ∵（）, ∴在上是减函数，……………2分 又定义域和值域均为，∴ ，……………4分 即 ， 解得 .……………6分 (II) ∵在区间上是减函数，∴，……………8分 又，且， ∴，.……………11分 ∵对任意的，，总有， ∴，