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第十章　曲线 §10-1 　曲线概述 曲线的形成 曲线的分类 曲线的投影 曲线的实长 一、曲线的形成 曲线是点的集合 曲线可看作是一个点在空间连续运动的轨迹 曲面体的外形轮廓线 曲表面与其它表面的交线（如截交线、相贯线） 二、曲线的分类 三、曲线的投影 曲线的投影一般仍为曲线 属于曲线上的点，它的投影属于该曲线在同一投影面上的投影 属于曲线某点的切线，它的投影与该曲线在同一投影面的投影仍相切与切点的投影 四、曲线的实长 将曲线分成若干段，定出各点的两面投影 利用直角三角形求实长的方法，求得各段曲线的近似实长。 顺次量取各段实长求和即得近似实长。 §10-2 　规则曲线 平面规则曲线 空间规则曲线 平面规则曲线 平面规则曲线的概念： 　　凡曲线上所有点都属于同一平面，且该曲线可以用数学方法精确描述，则称为平面规则曲线。 平面规则曲线的投影特性平面曲线除具有曲线投影的性质外，尚有下列投影性质： 平面曲线所在的平面平行于某一投影面时，则在该投影面的投影，反映曲线的实形。 平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时，则在该投影面的投影，积聚成一条直线。 平面曲线上某些奇异点的投影保持原有性质，即曲线的拐点、尖点及两重点的投影后仍为曲线投影的拐点、尖点及两重点。 抛物线、双曲线、椭圆等二次曲线投影后，一般性质不变，即抛物线的投影为抛线、双曲线的投影为双曲线、椭圆的投影为椭圆等。 平面规则曲线 圆的投影 圆的投影特性 倾斜于投影面的圆，它的投影为椭圆(解析法P144)。 倾斜于投影面的圆上任意一对相互垂直的直径，投影成椭圆上的一对共轭直径(P144注)。 倾斜于投影面的圆上一对相互垂直的直径，其中有一条直径为投影面平行线时，则它们在该投影面的投影为椭圆的长短轴。 平面规则曲线 椭圆的投影 椭圆的投影特性 在特定条件下，椭圆的投影可为一圆。(解析法P144)。 椭圆有一对共轭直径，投影后性质不变。 空间规则曲线 凡是曲线上有任意四个连续的点不属于同一平面，则称该曲线为空间曲线。螺旋线为常见的规则空间曲线。 空间规则曲线 圆柱螺旋线： 动点沿着圆柱的轴线作等速移动，同时又绕柱轴作等速旋转运动，则动点M的轨迹形成圆柱螺旋线 动点沿着圆柱面的母线作匀速直线运动，同时，该母线又绕圆柱面轴线作匀速转动，点的这种复合运动的轨迹，称为圆柱螺旋线。 当母线旋转一周时，动点在母线上移动的距离，称为导程。 导圆柱面的直径、母线的旋转方向和导程是确定圆柱螺旋线的三要素，已知三要素即可作出其投影图。 §10-3 　不规则曲线 概 述 自由曲线广泛用于汽车、飞机、轮船、火箭等计算机辅助设计中，涉及的问题有两个方面：一是由已知的离散点确定曲线；二是对已知自由曲线，通过交互方式予以修改，使其满足设计者的要求。 不规则曲线的描述与表示 (一) 曲线的样条表示 对于曲线而言，最具实际意义的莫过于样条曲线。样条曲线是在生产实践的基础上产生和发展起来的。传统的处理方法是模线间的设计人员在绘制模线时，先按给定的数据将型值点准确地“点”到图板上。然后，采用一种称为“样条”的工具(一根富有弹性的有机玻璃条或木条)，用压铁强迫它通过这些型值点，再适当调整这些压铁，让样条的形态发生变化，直至取得合适的形状，才沿着样条画出所需的曲线。 近年来，计算机能够方便地处理样条曲线问题，复杂曲线形状不可能用单一的曲线模拟，而由几段曲线段彼此首尾相连拼接，要求曲线连接处有连续的一阶和二阶导数，从而保证各曲线的光滑连接，在计算机图形学中，样条曲线即指由多项式曲线段连接而成的曲线。 不规则曲线的描述与表示 (二) 插值与逼近 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 插值和逼近则统称为拟合。 (三) 曲线段的数学表示(略) 注：本教材中还介绍了Hermite插值样条曲线(Ferguson曲线)、三次Bezier曲线以及它们之间的关系等。大家在以后的学习中再深入的学习。 画法几何学习相关网址 /~draw/jinpin/jxdg.htm 09/kechenzx/03-2-3.htm 09/kechenzx/04-2-4.htm /files/study/sindex.htm /jingping/jw08/index.asp /xtjyl.htm :8088/zhitu/ 按点的运动轨迹是否在同一平面 平面曲线 空间曲线 按点的运动 有无规律 规则曲线 不规则曲线