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第四篇 振动与波动 ４.旋转矢量在不同象限时的位移、速度、加速度的正负 1 2 3 4 x: + - - + v: - - + + a: - + + - 6.利用旋转矢量判断初相位的大小（举例说明） 例一：一放置在水平面上的弹簧振子，A=0.02m，T=0.5s,当t=0时，（1）物体在正方向的端点（2）物体在负方向的端点（3）物体在平衡位置，向负方向运动（4）物体在平衡位置，向正方向运动物体（5）在x=0.01m处，向负方向运动物体（6）在x=-0.01m，向正方向运动求：分别写出各自的振动方程。 对弹簧振子有 由题义 ： t = 0 时 x0= 0.02 m v0 = 0 所以 A = x0 = 0.02 m,又因为砝码在正向最大位置，所以 振子的振动方程为： 如果取坐标向上为正， 此时振子的振动方程为： 例3、一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。当t=0时， 求 运动方程 代入 有 解：设物体的运动方程为 1、对振子进行受力分析，判断振子是否作简谐振动。 （看是否满足 F = - kx 的形式) 2、确定振动的平衡位置。（振子所受合力为零的位置） 3、建立坐标系。最好选取平衡位置为坐标原点。 求解振动问题的解题步骤： 3、建立坐标系。最好选取平衡位置为坐标原点。 若坐标原点选在别处，应注意： （1）振动方程中的 x 是对平衡位置而言的，要进行变换。 （2）初始条件中的 x0 也是对平衡位置而言的，也要进行变换。 4、求出 A 、 、 就可写出振动方程。 曲线法：已知曲线求 O 2 -2 X(m) t(s) 1 例1：已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中数据写出振动表达式。 解：设运动表达式 由图可见，A=2m，当t = 0时有： 解得： 当t = 1时有 解得： O 2 -2 X(m) t(s) 1 例２：已知某质点作简谐振动的振动曲线如图所示，求该质点的振动方程。 解：设振动方程为 由振动曲线可看出： x(cm) 4 0 -4 2 0.5 P C t(s) B A 求初相 法一：旋转矢量法 如图作对应的旋转矢量OM。 法二：解析法 代入振动方程 x O M 旋转矢量法 t=0.5s时，x=0,v0，此时所对应的旋转矢量为OP 即历时0.5s，旋转矢量从OM 位置转到OP位置，转过 振动方程为 x O M P 设在某一时刻,振子速度为v,则系统的动能： 该时刻物体的位移为x,则系统的势能：　 系统的总能量： 简谐振动的总能量与振幅的平方成正比 §12 - 2简谐振动的能量 随时间作周期性变化，周期为 随时间作周期性变化，周期为 动能 势能 总能量 简谐振动的动能和势能随时间变化并相互转换，振动系统的总机械能守恒 x O t 动能 势能 总能量 能量曲线 上面式子表明，谐振子在振动过程中的动能和势能，分别随时间变化，并相互转换。过平衡位置时（位移为零），动能最大、势能为零，到端点位置时（位移最大），动能为零、势能最大。但是，在整个振动过程中，总能量却保持不变，是一恒量且与振幅的平方成正比。由此清楚地说明：A不仅给出了谐振动的运动范围，而且还决定了振动总能量的大小，或者说反映了振动的强弱。 BOC 是随 x 变化的抛物线，直线BC表示总能量E 简谐振动的总能量和振幅的平方成正比这一结论，对任何作简谐振动的系统都是正确的。 图为简谐振动的能量和位移之间的关系曲线。 在简谐振动过程中，系统所受外力不作功，只有保守内力 （弹性力）作功，故而系统机械能守恒。动能和势能虽然不断相互转换，但总能量始终保持不变 能量对时间的平均值 这一结论，对任何作简谐振动的系统都适用。 例1：一质量为0.1千克的物体作谐振动，A=0.01m， , 求（1）周期T；（2）总能量E （3）物体在何处时，其动能和势能相等 解：（1） 一弹簧振子做简谐振动，总能量为E，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为： （A） E/4 （B） E/2 （C） 2E （D） 4E O X P M 参考圆 相位 （3）物体在平衡位置，向负方向运动 O X P M 参考圆 相位 （4）物体在平衡位