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三、 傅里叶变换 3．1傅里叶变换的基本概念 3．1．0傅里叶级数的引入 18世纪，在研究弦的振动及相似的物理现象时，出现了三角展开（trigonometric expansion）问题。1808年，傅里叶在研究热传导时，写了一本开创性著作Théorie Analytique de la Chaleur,在书中，傅里叶对三角级数做了仔细的研究并用于解决一些列的热传导问题，但该书直到1822年才出版。 3．1．1傅里叶变换的物理意义 在工程上任何信号或波形f（t）都是由一系列不同频率和不同振幅的正弦波所组成，或者说f（t）包含了一系列的不同频率和不同振幅的正弦波。把信号f（t）分解成一系列的不同频率和不同振幅的正弦波。这样一个数学过程就称为傅里叶展开或傅里叶变换，因此傅里叶变换的物理意义就是对信号进行谱分解、谱分析。信号的傅里叶展开就是信号的谱分解。 3．1．2什么类型的周期信号可以展开成傅里叶级数 狄里赫利（Dirichlet）条件 1. 在一周期内，周期信号是绝对可积的； 2. 在一周期内，周期信号的极值数目是有限个； 3. 在一周期内，周期信号只有有限个间断点； 凡符合Dirichlet条件的信号或函数都可用傅氏级数展开形式 3.1.3 周期信号的傅氏级数表示 3.1.3 周期信号的傅氏级数表示 3.1.3 周期信号的傅氏级数表示 3.??指数形式傅式级数 利用Euler公式有 3.1.3 周期信号的傅氏级数表示 3.1.3 周期信号的傅氏级数表示 三角傅氏级数与指数傅氏级数系数之间关系： 3.1.3 周期信号的傅氏级数表示 3.1.3 周期信号的傅氏级数表示 5. 傅氏级数系数与函数对称性的关系 3.1.3 周期信号的傅氏级数表示 b. f（t）为偶或奇谐函数 3.1.4 周期信号的频谱 1. 周期信号频谱特点 以例子说明其特性（周期方波信号的频谱） 3.1.4 周期信号的频谱 3.1.4 周期信号的频谱 2. 频带宽度B 从零频开始到需要考虑的最高频率分量间的范围，称为信号的有效宽度或称为频谱宽度，对于一般的频谱，常常把从零频开始到频谱幅度下降为包络最大值的1/10的频率之间的频带取作频谱宽度，上面的例子中，B=7 3.1.4 周期信号的频谱 3. 收敛速度 时间函数中变化较慢的信号，它的傅氏级数必定收敛较快，这是因为它含有的其它频率成分信号少，或合成的信号成分少。 如 f（t）=Asin2t, 收敛较快，只有1项，变化激烈的信号，跳跃信号，收敛慢，包含的信号频率成分多 3.1.4 周期信号的频谱 4. 间断点 设在处有间断点，则 3.1.4 周期信号的频谱 5. 从傅里叶级数到傅里叶变换 5. 从傅里叶级数到傅里叶变换 5. 从傅里叶级数到傅里叶变换 3.2 离散傅里叶级数 周期离散时间序列的傅里叶变换称为离散傅里叶级数。 考察一个序列 ： 是一个以N为周期的周期序列，这样的周期序列不能用Z变换表示，因为在任何Z值下它的Z变换都不收敛，然而却可以用傅里叶级数表示 1. 旋转因子的周期性和正交性 旋转因子(twiddle factor) 具有周期性(periodicity) 和正交性(orthogonality) 。 旋转因子的周期性和正交性 2. DFS 的数学表达式 DFS是周期序列的傅里叶表示 。 利用正交性 FS是连续周期信号的傅里叶变换 ；DFS是周期序列的傅里叶变换。 3. DFS性质 3. DFS性质 2°序列的移位：shift of a sequence 3. DFS性质 3°对称性symmetry properties 3. DFS性质 3°对称性symmetry properties 3. DFS性质 3°对称性symmetry properties 3. DFS性质 4°周期卷积（循环卷积）Periodic Convolution 结论：时域卷积频域相乘 3. DFS性质 5°相乘定理 结论：时域相乘 频域卷积 3. DFS性质 6°相关定理 证毕 3. DFS性质 7°泊斯瓦尔定理（Parseval’s Theorem） 3. DFS性质 8°能量定理 3.3 离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform—DFT） 3.3.1 DFT数学表达式 离散傅立叶级数(DFS)是周期序列的傅立叶表示，而离散傅立叶变换（DFT）是有限长序列的傅立叶表示。如果把周期序列看作是由一个有限长序列做周期延拓而得到的，或者说有限长序列是周期序列的一个主值序列，那么可以从周期序列的DFS得到长为