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数列 数列极限 收敛数列的性质 收敛数列与其子数列间的关系. 五、小结 数列的极限 研究其变化规律; 极限思想, 精确定义, 几何意义; 有界性, 唯一性, 保号性, * 函数与极限 数列的概念 收敛数列的性质 数列极限的概念 概念的引入 第二节 数列的极限 第一章 函数与极限 子列及其极限 小结 思考题 作业 一、概念的引入 极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键. 极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 “一尺之棰,日取其半,万世不竭”. 意思是: 一尺长的棍子, 第一天取其一半, 第二 天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下的一 半, 这样永远也取不完. 数列的极限 中写道: 刘徽(三世纪)的“割圆术”中说: 意思是: 设给定半径为1尺的圆, 从圆内接正6边 形开始, 每次把边数加倍, 屡次用勾股定理. 求出 正12边形、 ……等等正多边形的边长, 正24边形. 边数越多, 圆内接正多边形越与圆接近, 最后与 圆周重合, 则正多边形周长与圆周长就没有误 差了. 数列的极限 “割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.” 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 数列的极限 简记为 数列的极限 二、整标函数与数列 定义1 定义在正整数集上的函数 称为整标函数,记为 对应函数值的排列 称为数列, 定义2 当n依次取1,2,3,…等一切正整数时, 通项(general term), 或者一般项. (sequence of number) 如 数列的极限 可看作一动点在数轴上依次取 数列的(两种)几何表示法: 数列可看作自变量为正整数 n的函数: 整标函数或下标函数 (1)数列对应着数轴上一个点列. 数列的极限 (2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 注 不可将这串点连成曲线. o n xn · · · · 1 2 3 4 则数列的几何意义是 数列的极限 平面上一串分离的点. 数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性 定义3 则称数列 为有界数列,否则为无界数列. 如, 有界 无界 数列的极限 定义4 则称数列 为单调增数列. 如 ↗ 则称数列 为单调减数列. 如 数列的极限 注意: 1. 凡是讲数列,都有无穷多项. 2. 数列是一种特殊的函数. 3. 数列与数集是不同的(数集中元素互不相同). 数列的极限 三、数列的极限 1. 引例 求由抛物线 所围成的图形面积. (1) 分割:n等分,得到n个小区间: (2) 代替: 小矩形面积为 数列的极限 (3) 求和: 问题 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值? 如果是, 如何确定? 数列的极限 问: ? ? ? 数列的极限 定义5 数列极限的 定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数N, 则称数列 收敛,极限为 记作 或 如果数列没有极限, 就说数列发散(diverge). 数列的极限 注 但是一旦给出之后, 它就是确定了; 说明数列从某项开始, 后面所有的项均与A 接近到任意给定的程度. 一般地说, 数列的极限 (3) {u n}有没有极限, “前面” 的有限项不起作用, 主要看“后面”的无穷多项. 定义 采用逻辑符号将 的定义可缩写为: 数列的极限 数列极限的几何意义 数列的极限 即 注 数列极限的定义通常是用来进行推理 和证明极限,而不是用来求极限, 因为这里 需要预先知道极限值是多少. 例1 证 虽然是可以任意小的正数,但使用定义证题时,对于给定的 总暂时认为它是固定的,按照这个 找出使不等式成立的N. 数列的极限 因为 解不等式 所以, 例2 证 令 数列的极限 解得 所以 例3 数列的极限 例4 证明: 提示: 总结: 定理1(极限的唯一性) 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 数列的极限 才能成立. 使得 四、收敛数列的性质 定理2(收敛数列的有界性) 证 由定义, 有界性是数列收敛的必要条件, 推论 注 收敛的数列必定有界. 数列的极限 无界数列必定发散. 不是充分条件. 例5 证 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 数列的极限 反证法 假设数列 收敛， 则有唯一极限a 存在. 但却发散. 数列的极限 定理3(保号性) 如果 且 证 由定义, 对 有 从而 推论1 如果 且 推论2 如果 且 则 当 时,有 推论3 如果 且 则 当 时,有 推论4 如果数列 从某项起有 且 那