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高中数学分析和解决问题能力的组成及培养策略 （325804）苍南县钱库高级中学 徐登群 分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述．它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现．由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性．这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷的题型更新，更具有开放性．纵观近几年的高考，学生在这一方面失分的普遍存在，如97年的理科24题、98年的理科24题、99年的理科23、24题、2000年的文科21题，这就要求我们教师在平时教学中注重分析和解决问题能力的培养，以减少在这一方面的失分．笔者就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点刍见． 一、分析和解决问题能力的组成 1．审题能力 审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提．审题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力．要快捷、准确在解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的． 例1 已知求的值． 分析：怎样利用已知的二个等式？初看好象找不出条件和结论的联系．只好从未知入手，当然，首先想到的是把、分别求出，然后求出它们的乘积，这是个办法，但是不好求；于是可考虑将写成，转向求、．令 ，，于是． 从方程的观点看，只要有、的二元一次方程就可求出、．于是转向求 ，． 这样把问题转化为下列问题： 已知 ① ② 求、的值． ①2+②2得 ． ②2-①2得，． 这样问题就可以解决． 从刚才的解答过程中可以看出，解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力．由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基本组成部分． 合理应用知识、思想、方法解决问题的能力 高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内 －１－ 容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法．只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅． 例2 （2000年全国高考题）设函数 其中 （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）求的取值范围，使函数在上是单调函数． 解：（Ⅰ）不等式 即 由此得即其中常数 所以，原不等式等到价于 ， 即 所以，当时，所给不等式的解集为 当时，所给不等式的解集为 （Ⅱ）在区间上任取使得 (ⅰ)当时， ∵ ∴ 又 ∴ 即 所以，当时，函数在区间上是单调递减函数． （ⅱ）当时，在区间上存在两点满足 －２－ 所以函数在区间上不是单调函数． 综上，当且仅当时，函数在区间上是单调函数． 在上述的解答过程中可以看出，本题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法的运算、推理能力． 数学建模能力 近几年来，在高考数学试卷中，都有几道实际应用问题，这给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战．而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心． 例3 （1999全国高考题）下图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出． （Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ （） （Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧