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第二章 判别函数 § 2-1、判别函数 § 2-2、线性判别函数 § 2-3、线性分类器的设计 § 2-4、感知器及其训练 § 2-5、感知器准则函数及其梯度法 § 2-6 非线性判别函数 § 2-2 线性判别函数 我们现在对两类问题和多类问题分别进行讨论。 (一)两类问题 (二) 多类问题 例：已知三类ω1,ω2,ω3的判别函数分别为： 因此三个判别边界为： 判别函数： 判别边界： 判别条件： 3 第三种情况 判别函数： 判别规则： 判别边界： gi(x) =gj(x) 或gi(x) -gj(x) =0 就是说，要判别模式X属于那一类，先把X代入C个判别函数中，判别函数最大的那个类别就是X所属类别。 类与 类之间的边界可由 gi(x) =gj(x) 或gi(x) -gj(x) =0来确定。 结论：不确定区间没有了，所以这种是最好情况。 §2-3、线性分类器的设计 1.分段线性判别函数（用线性无法分开,可用分段线性判别函数） ①、基于距离的分段线性判别函数。（用均值代表一类，通过均值连线中点的垂直线分开） 把ωi类可以分成li个子类: ∴ 分成l个子类。 现在定义子类判别函数： 在同类的子类中找最近的均值。 判别规则： 这是在M类中找最近均值。则把x归于ωj类完成分类。 ②、基于函数的分段线性判别函数 利用均值代表一类有时有局限性，如图所示。若用 线性判别函数代表一类，就会克服上述情况。 ③、基于凹函数的并分段线性判别函数（针对多峰情况） 设li子类判别函数，i=1,2,…..r则分段线性判别函数有如下特性： 例、设如图 设ω＝ ω1, ω2 ,……ωm 而每一类又可以分为 子类。 对每个子类定义一个线性判别函数为： 则定义ωi类的线性判别函数为： 在各子类中找最大的判别函数作为此类的代表，则对于M类，可定义M个判别函数gi(x),i=1,2,…..M,因此，决策规则： 对未知模式x，把x先代入每类的各子类的判别函数中，找出一个最大的子类判别函数，M类有M个最大子类判别函数，在M个子类最大判别函数中，再找一个最大的，则x就属于最大的子类判别函数所属的那一类。 (a)：l1,l2,……lr都是分段线性判别函数 (b)：若A,B都是分段线性判别函数，则： A∧B ，A∨B也是分段线性判别函数。 A∧B取最小 ，A∨B取最大。 (c)：对任何分段线性函数都可以表示成如下二种形式： 1)、析取范式(这是经常采用的形式) P=(L11∧L12∧…∧L1m)∨…∨(Lq1∧Lq2∧…∧Lqm) 2)、合取范式 Q= (L11 ∨ L12 ∨ … ∨ L1m) ∧ … ∧(Lq1 ∨ Lq2 ∨ … ∨ Lqm) 每个(L11 ∨ L12 ∨ … ∨ L1m) 都称为凹函数。 §2-6、非线性判别函数 Ⅱ Ⅲ 例：未知x,如图： 先与ω1类各子类的均值比较，即 ，找一个最近的 与ω2各子类均值比较取最近的 因g2(x) g1(x) ，所以x∈ω2类 。 * * 假设对一模式X已抽取n个特征，表示为： 模式识别问题就是根据模式X的n个特征来判 别模式属于ω1 ,ω2 , … , ωm 类中的那一类。 § 2-1 判别函数 例如下图：三类的分类问题，它们的边界线就是一个判别函数 判别函数包含两类： 一类 是线性判别函数： 线性判别函数 广义线性判别函数 （所谓广义线性判别函数就是把非线性判别函数映射到另外一个空间变成线性判别函数） 分段线性判别函数 另一类是非线性判别函数 假设有c个类型，且c≥3。为了把所有的类型分开，存在三种不同的技术途径，适用于三种不同情况，分别介绍如下： 1。第一种情况： 作图如下： 对于任一模式X如果它的 g1(x) 0 ， g2(x) 0 ， g3(x) 0 则该模式属于ω1类。相应ω1类的区域由直线-x2+1=0 的正边、直线-x1+x2-5=0 和直线-x1+x2=0的负边来确定。 必须指出，如果某个X使二个以上的判别函数 gi(x) 0 。则此模式X就无法作出确切的判决。如图中 IR1,IR3，IR4区域。 另一种情况是IR2区域，判别函数都为