線性代数试题及答案2.docVIP

一.单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.如果，则 =( ). A.； B.； C.； D.。 2. 设是矩阵，则( )成立. A.； B. ； C.； D. 。 3. 设是矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是( ). A.的行向量组线性无关 B. 的列向量组线性无关 C.的行向量组线性相关 D. 的列向量组线性相关 4. 设，则分别等于（ 　）． A. B. C. D. 5. 若是方程的解，是方程的解，则（ ）是方程的解（为任意常数）. A. B. C. D. 二.填空题（每小题3分，共15分） 1.设均为阶方阵，且，则= . 2. = . 3. 若对任意的3维列向量，则=　 　　　 　　． 4．设与正交，且则= 　　　　，= ． 5. 设向量组线性 关. 三.计算行列式（10分） 四.（10分）设求向量组的秩和一个最大无关组. 五.（10分）已知矩阵满足，其中，，求. 六.（8分）设方阵满足证明可逆，并求的逆矩阵. 七.(8分）已知向量组线性无关，，，，证明向量组线性无关. 八.（12分）求矩阵的特征值和对应于特征值的所有特征向量。 九.（12分）取何值时，下列非齐次线性方程组 (1)无解，（2）有唯一解，（3）有无穷多解？并在有无穷多解时写出通解。 一、填空题 （共5 小题，每题 3 分，共计15 分） 1. ; 2. 3. ; 4 . ,; 5. 无关 二、选择题 （共 5 小题，每题 3 分，共计15 分 1. (B); 2. (D) ; 3. (D); 4．(C) ; 5. (A). 三、（10分） 解： 3分 3分 . 4分 四 （10分） 解：，所以A可逆，有 ， 4分 3分 3分 五. （10分） 解： 2分 6分 向量组的秩为4， 为最大无关组。 2分 六、 证明：恒等变形，， 3分 ，所以可逆，且。 3分 七、证法一 ：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 ， 3分 设，以代入得 ，因为矩阵A的列向量组线性无关，根据向量组线性无关的定义知， 3分 又因，知方程 只有零解。 所以矩阵B的列向量组线性无关。 4分 证法二： 把已知条件合写成 ， 3分 因 ，知 K可逆， 根据上章矩阵性质4知 3分 因矩阵A的列向量组线性无关，根据定理4 知，从而 ， 再由定理4知矩阵B的三个列向量组线性无关。 4分 八 （12分） 解: 4分 4分 向量。 4分 九．（12分） 解： 4分 当时，，方程组无解； （2）当时， ，方程组有唯一解； （3）当时，，方程组有无穷多个解。 4分 原方程组同解于，， 通解，（）。 4分  第 5 页 共 5 页