2015-2016学年《空间向量在立体几何中的综合应用》导学案.pptxVIP

第7课时 空间向量在立体几何中的综合应用1.理解用空间向量判断立体几何中的平行与垂直关系的方法.2.掌握运用空间向量求立体几何中的线线角、线面角、面面角(或二面角)的方法.3.掌握运用空间向量求立体几何中的点、线、面相互之间的距离的方法.4.熟悉空间向量作为工具在立体几何中的常规运用. 前面我们学习了空间向量在立体几何中的应用,分析了空间向量的平行与垂直关系,解决了求空间角、空间距离等问题,这说明空间向量与立体几何之间有着不可分割的联系,我们需要熟悉并掌握空间向量.这一讲我们就来进一步探讨空间向量在立体几何中的综合应用问题.问题1任取（x，y，z）数量积1a∥ba⊥mm∥n问题2a⊥ba∥mm⊥n问题3平面角其补角端点模问题4点面点面1C2?点A(n,n-1,2n),B(1,-n,n),则||的最小值是(　).A.　B.　C.2　D.不存在B?【解析】∵=(1-n,1-2n,-n),∴||2=(1-n)2+(1-2n)2+n2=6(n-)2+,当n=时,||的最小值为.3在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和点(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=　.??【解析】平面xOy的法向量为n=(0,0,1),设平面α的法向量为u=(x,y,z),则即3x=4y=az,取z=1,则u=(,,1),∴cosn,u==.又∵a0,∴a=.?4在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.【解析】如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),C1(0,b,c),E(a,b,c),F(a,,c),∴=(-,,),=(-a,b,c),∴=. 又FE与AC1不共线,∴EF∥AC1.??C用向量解决折叠、翻转模型中的立体几何问题如图①, 在直角梯形ABCD中, ∠ADC=90°, CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M为线段AB的中点. 将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图②所示.(1)求证:BC⊥平面ACD;(2)求二面角A-CD-M的余弦值.7?【解析】(1)在图①中, 可得AC=BC=2, 从而AC2+BC2=AB2, 故AC⊥BC. 取AC的中点O,连接DO, 则DO⊥AC.∵平面ADC⊥平面ABC, 平面ADC∩平面ABC=AC, DO?平面ACD,∴DO⊥平面ABC.∴DO⊥BC.又AC⊥BC, AC∩DO=O,∴BC⊥平面ACD. ?(2)(法一)建立如图所示空间直角坐标系,则M(0,,0), C(-,0,0),D(0,0,),=(,,0), =(,0,). 设n1=(x,y,z)为平面CDM的法向量,则即解得令x=-1, 可得n1=(-1,1,1). 又n2=(0,1,0)为平面ACD的一个法向量,∴cosn1,n2===.∴二面角A-CD-M的余弦值为.?(法二)如图,取AC的中点N,DC的中点G,连接MN,NG,GM.易知MN∥BC,又BC⊥平面ACD,∴MN⊥平面ACD.又CD?平面ACD,∴MN⊥CD.又NG为△ACD的中位线,AD⊥DC,∴NG⊥DC.∵NG∩MN=N,∴DC⊥平面MNG,∴∠NGM即为二面角A-CD-M的平面角.在Rt△ADC中,易知AC=2,在Rt△ABC中,易知BC=2,∴MN=.在Rt△MNG中,NG=1,MN=,∴MG=.故cos∠NGM===.∴二面角A-CD-M的余弦值为. 1.设平面α内两向量a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量中是平面α的法向量的是(　).A.(-1,-2,5)　B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)　 D.(1,-1,-1)B【解析】平面α的法向量应当与a、b都垂直,可以检验知B选项适合.A?3.若a=(1,2,0),b=(-2,1,x),且以a,b为邻边的平行四边形的面积为3,则实数x的值为　.?±2?【解析】易知a,b相互垂直,因此以a,b为邻边的平行四边形为矩形.由题意可知×=3,解得x=±2.4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a,D是侧棱CC1的中点,求平面AB1D与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值.?【解析】以B为原点,过点B与BC垂直的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(0,a,0),B1(0,0,a),C1(0,a,a),A(-a,a,0),A1(-a,a,a),D(0,a,a).故=(a,-a,a),=(0,a,-a).?设平面AB1D的法向量为n=(x,