2015-2016学年《章末小结》导学案.pptxVIP

第三章章末小结平行四边形三角形三角形交换律结合律分配律共线平行b=λa平行于共面向量p=xa+ybxa+yb+zc基底基向量a·b=0x1x2+y1y2+z1z2x1x2+y1y2+z1z2=0x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)a=kba⊥ba·b=0a⊥ua·u=0a∥ua=λuu∥vu=kvu⊥vu·v=0法向量∥余角n1,n2或其补角题型一:空间向量与平行关系如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,求证:AB1∥平面DBC1.?【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系.设正三棱柱的底面边长为a(a0),侧棱长为b(b0),则A(0,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,b),C1(0,a,b),D(0,a,0),∴=(a,a,b),=(-a,0,0),=(0,a,b).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则∴不妨令y=2b,则n=(0,2b,-a).由于·n=ab-ab=0,因此⊥n.又AB1?平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1.题型二:空间向量与垂直关系如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.?【解析】由题意,得AB,BC,BB1两两垂直,故以B为原点,分别以BA,BC,BB1所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E(0,0,),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,2,1),=(-2,0,).设平面AA1C1C的法向量为n1=(x1,y1,z1),则?令x1=1,得y1=1,∴n1=(1,1,0).?设平面AEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),则?令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n1⊥n2.∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.题型三:空间向量与线面角 正四棱锥S—ABCD中,O为顶点S在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,求直线BC与平面PAC所成的角.1.(2014年·辽宁卷)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.(1)求证:EF⊥BC;(2)求二面角E-BF-C的正弦值.【解析】?(1)由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),E(0,,),F(,,0),所以=(,0,-),=(0,2,0).因此·=0.从而⊥,所以EF⊥BC.?(2)在图中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面BEF的法向量为n2=(x,y,z),又=(,,0),=(0,,),则得n2=(1,-,1).设二面角E-BF-C大小为θ,且由题意知θ为锐角,则cos θ=|cosn1,n2|=||=.因此sin θ==,即所求二面角E-BF-C的正弦值为.2.(2014年·北京卷)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且AF⊥PE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.?【解析】(1)在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以AB∥DE,又因为AB?平面PDE,所以AB∥平面PDE.因为AB?平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,所以AB∥FG.(2)因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE.如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),=(1,1,0),=(1,0,0),=(0,1,1).?设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则y=-1,所以n=(0,-1,1).设直线BC与平面ABF所成角为α,则sin α=|cos n,|=||=.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u,v,w).?因为点H在棱PC上,所以可设=λ(0λ1),即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2),所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.因为n是平面ABF的法向量,所以n·=0,即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0.解得λ=,所以点H的坐标为(,,).所以PH==2.3.一、选择题?1.已知A(2,-4,-1),B(-1,5