矩陣分解在电网节点阻抗矩阵形成中的应用.docVIP

矩阵分解在电网节点阻抗矩阵形成中的应用 张静亮 控制科学与工程学院 模式识别与智能系统 2009010216 摘要： 在电力系统计算中，节点阻抗矩阵元素的计算相当复杂，不可能从网络的接线图和支路参数直接求出，但是通过对节点导纳矩阵求其逆矩阵可以得到。在此利用矩阵分解中的LR分解、LDR分解对线性方程组求解，可以得到节点导纳矩阵的逆矩阵即节点阻抗矩阵。 一．节点阻抗矩阵： 用导纳表示的节点电压方程的基本形式为I=YU，Y为nxn阶节点导纳矩阵，将前式两边左乘Y的逆矩阵Y—1，可得Y—1I=U，令Y—1=Z，则ZI=U，Z为nxn阶的节点阻抗矩阵，是节点导纳矩阵的逆矩阵。将ZI=U改写成： i=1，2，……，n 如果在节点i 注入单位电流，其余节点（j≠i））i 注入电流时，网络中除参考节点的电压外其余节点的电压都不为零，因此互阻抗一般不为零。由互阻抗的性质决定了节点阻抗矩阵是一个对称矩阵，但不是稀疏矩阵而是满矩阵。 二．节点阻抗矩阵的求解： 节点阻抗矩阵是节点导纳矩阵的逆矩阵，但在较复杂的网络中不能像节点导纳矩阵那样按照定义直接求取自阻抗和互阻抗。节点阻抗矩阵可以利用节点导纳矩阵求逆的方法形成。线性代数中任意一种矩阵求逆的数学方法都可以应用，如解线性方程组求逆法、消元求逆法等，但在电力系统计算中比较常用的方法是解线性代数方程组的方法。 因为Y—1=Z，所以YZ=I，式中：I为单位矩阵，Y中的各元素已知。将上式展开得： 由矩阵运算可得n组n元联立方程： …….; 每解一组上式中的线性代数方程，可得节点阻抗矩阵中的一列元素，求解n 组后即形成了完整的节点阻抗矩阵。线性代数方程组求解的数学方法很多，电力系统计算中常用的有高斯消去法及由此派生的因子表法、三角分解法、分块矩阵法等。由节点导纳矩阵求逆形成节点阻抗矩阵的方法，就是求解上式所列的n组线性代数方程组，这些方程组中有一个共同点:节点导纳矩阵Y是不变的系数矩阵，只有常数项矩阵在变化，为了能够方便地多次求解这类方程组，就可以利用三角分解法。 设方程组AX=B需要多次求解，每次仅改变其常数项B，而系数矩阵A是不变的，三角分解的具体方法是将系数矩阵A分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积。在电力系统中常用的方法有：LR分解、LDR分解法，下面简介分解的原理。 三角分解是指任何一个方阵A都可分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵R的乘积Ａ＝ＬＲ，设矩阵L的所有对角元素都为1，Ｌ，Ｒ的展开式为： ; 则此二矩阵的乘积即对应系数矩阵Ａ中的各元素。如ａ１１＝ｒ１１，ａ１２＝ｒ１２，ａ２１＝l２１ｒ１１，ａ２２＝l２１ｒ１２＋ｒ２２，如果l２１＝ａ２１／ｒ１１，ｒ１２＝ａ１２，ｒ２２＝ａ２２－l２１ｒ１２至此已分解出二阶的Ｌ，Ｒ矩阵，可依次类推。一般Ｌ和Ｒ的元素可用递推公式计算，可求得Ａ三角分解后的递推公式为： k=1,2,……,n; j=1,2,……,k-1 k=1,2,……,n; j=k,k+1,…n 矩阵分解为Ｌ和R后，上三角矩阵R的元素都不等于零，因此又可把R分解为对角矩阵D和对角元素为1的上三角矩阵U的乘积R=DU，则 A=LDU 如果A是对称矩阵，在Ａ＝LDU中有U=LT的关系，则矩阵Ａ可进一步分解为 A=LDLT 式中矩阵元素表达式为： ; k=1,2,…..,n ; k=1,2,……,n; j=1,2,…..,k-1 下面介绍利用矩阵三角分解后求解方程组ＡＸ＝Ｂ的基本方法。 设Ａ已经分解为Ｌ，Ｄ，则ＡＸ＝Ｂ变为ＬＤLTＸ＝Ｂ，对上式可采用依次求解的方法：令Ｚ＝ＤLTＸ，则LZ=B，解出矩阵Z；再令W=LTＸ，则DW=Z，解出矩阵W；最后由LTＸ=W解出矩阵X。虽然这种先进行三角分解，然后依次求解的方法看起来较复杂，但都是用三角矩阵在求解。在这类问题时，仅需要对节点导纳矩阵Y作一次三角分解即可。 三．应用总结： 在上述节点阻抗矩阵的求解中主要用到了矩阵论中的矩阵分解的部分知识，主要是LR分解以及ＬＤＲ分解。此外还涉及了矩阵求逆，稀疏矩阵等部分矩阵知识。 矩阵ＬＲ分解的定义为，设Ａ∈Ｃｎｘｎ，如果Ａ可分解成Ａ＝ＬＲ，其中L是对角元素为1的下三角矩阵（称为单位下三角矩阵），R是上三角矩阵，则称之为A的Doolittle分解。如果A可分解为A=ＬＤＲ，其中Ｌ是单位下三角矩阵，Ｄ是对角矩阵，Ｒ是单位上三角矩阵，则称之为Ａ的ＬＤＲ分解。 由A的Doolittle分解A=LR，得 于是 （j=1,2,….n）, (i=1,2,…..n), (j=k, k+1,….,n; k=2,3,….,n), (i=k+1,k+2,….,n; k=2,….,n) 由上式可导出求A的D