函数的奇偶性,指数的运算讲述.docx

本次课内容：函数的奇偶性、指数的运算 第一节 函数的奇偶性 [导入新知] 偶函数 奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么 定义 数 f(x)就叫做偶函数 函数 f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 定义域 图象 特征 判断函数的奇偶性 [例 1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋1； (2)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)； (3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|； ? ? ? 21x2＋1，x0， (4)f(x)＝ 1 －2x2－1，x0. 1  [类题通法] 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的充要条件是 f(x)的图象关于原点(y轴)对称． (3)性质法： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． [活学活用] 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； x2＋x＋4，x0， ? ? ? x (2)f(x)＝ x2－x＋4，x0. － x 利用函数奇偶性的定义求参数 [例 2] (1)若函数 f(x)＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则 a＝________，b＝________； 2 (2)已知函数 f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数 a＝________. [类题通法] 由函数的奇偶性求参数应关注两点 (1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性 质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用． (2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数． 2  [活学活用] ?－x2＋x，x0， 已知函数 f(x)＝?? ??ax2＋x，x0 是奇函数，则 a＝________. 利用函数的奇偶性求解析式 [例 3] f(x)为 R上的奇函数，当 x0时，f(x)＝－2x 2 ＋3x＋1，求 f(x)的解析式． [类题通法] 利用奇偶性求解析式的方法 首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区 间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． [活学活用] 已知 f(x)是 R上的偶函数，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求 x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式． 3.函数的单调性与奇偶性的综合问题 [典例] (12分)设定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减，若 f(m)＋f(m－1)0，求实数 m 的取值范围． 3  [活学活用] 设函数 f(x)在 R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且 f(2a2＋a＋1)f(2a2－2a＋3)，求 a的取值范 围． 第二节指数与指数幂的运算之根式 根式 [导入新知] 根式及相关概念 (1)a的 n次方根定义： 如果 xn＝a，那么 x叫做 a的 n次方根，其中 n1，且 n∈N*. (2)a的 n次方根的表示： a的 n次方根的 n的奇偶性 a的取值范围 表示符号 n为奇数 n为偶数 n a R ±n a [0，＋∞) (3)根式： 式子n a叫做根式，这里 n叫做根指数，a叫做被开方数． [化解疑难] (n a)n与n an的区别 (1)当 n为奇数，且 a∈R时，有n an＝(n a)n＝a； (2)当 n为偶数，且 a≥0时，有n an＝(n a)n＝a. 4  根式的概念 [例 1] (1)下列说法：①16的 4次方根是 2；②4 16的运算结果是±2；③当 n为大于 1的奇数时，n a 对任意 a∈R都有意义；④当 n为大于 1的偶数时，n a只有当 a≥0时才有意义．其中说法正确的序号为 ________． 3 1 (2)若 a－3有意义，则实数 a的取值范围是________． [类题通法] 判断关于 n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了 n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着 n次方根的符号． [活学活用] 已知 m10＝2，则 m等于( ) A.10 2 B．－10 D．±10 2 C. 210 2 利用根式的性质化简求值 [例 2] 化简： (1)n ?x－π?n(xπ，n∈N*)； ? 1? . ? 2 (2) 4a2－4a＋1