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三角形刚架结构的有限元法分析 P 徐叶松 如图所示，等腰直角三角形如刚架结构，斜边长度为2L，所有横截面同为半径为R的实心圆，材料弹性系数为E。已给出单元和节点编号，平面坐标系原点位于节点①处，x方向指向节点②。节点①固支，节点②承受集中力P，方向沿-y方向。材料的密度为ρ，考虑自重影响。用有限元方法求出节点②和③的位移及节点①的支反力/力矩，具体包括：写出局部坐标系下刚架单元刚度矩阵，坐标变换矩阵，组装成总体刚度方程，结合外载和边界条件求解。其中： 解：结构平衡方程为，其中为刚度矩阵，为节点位移向量 将刚架离散为3个杆元，编号为⑴、⑵、⑶；3个节点，编号为①、②、③。并建立各杆元的局部坐标系。 计算各杆元的刚度矩阵 其中各杆元的及均相同，为各杆元的长度，杆元⑴为，杆元⑵、⑶均为，代入即可得各杆元得刚度矩阵。 为将局部坐标系中得到的刚度矩阵转换到平面坐标系，设坐标转换矩阵为，则有 坐标系的基本单位向量为；坐标系的基本单位向量为。它们之间的夹角及坐标转换关系如下： 由图中看出，杆元⑴的不必做坐标转换，故有 对杆元⑵、⑶，其坐标转换矩阵为 则杆元⑵、⑶在平面坐标系中的刚度矩阵为 组装结构刚度矩阵 各杆元刚度矩阵的分块子矩阵形式如下： 组装成总刚度矩阵（对称阵）为 组装结构外荷载向量 其中为、为节点①的支反力。 约束处理 结构的节点位移向量为 划去零位移对应的行和列，得到结构的节点平衡方程如下 ( * ) 求解方程组 求解方程组（*）得到节点②、③的位移： 计算节点的支反力/力矩 节点①的支反力/力矩为 .