通俗易懂的导数基础讲义.doc

导数基础讲义 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 序章 函数 一件事变成了这样，使得另一件事变成了那样。所谓函数，说的就是事物间的相关性，函数说到底就是用来描述“关系”（或因果）“变化”或者“单位变化”的工具。 y=f(x) 就是使用f给x施加某种规则或关系，进而推导出y。 例：声速和气温可以用函数表示，每上升1℃，声速就会提高0.6m/s，y=0.6x+331。 温度为15℃时，声速=0.6x15+331=340m/s 例：将华氏温度x（℉）变换为摄氏温度y（℃），y=(x-32)*5/9 x=50℉时，y=（50-32）*5/9=10℃； x=68℉时，y=（68-32）*5/9=20℃ 微分就是将函数化繁为简 在讨论局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论。 将y=x2在x=1处近似成一次函数g(x)=2x-1，在x=1处，y=x2与g(x)=2x-1的结果相等；离x=1处越近，用g(x)近似 f(x)的效果就越好。 x X距离1的变化量 f(x) g(x) 差值 误差率 1.1 0.1 1.21 1.2 0.01 10% 1.01 0.01 1.0201 1.02 0.0001 1% 1.001 0.001 1.002001 1.002 0.000001 0.1% 1.0001 0.0001 11.0002 00.01% 误差率=（f与g的差异）/（x的变化量），从上表可以看出，在某值附近，用简单的一次函数，就可以近似复杂的函数，距离某值越近，近似的效果越好。所谓近似成一次函数，就是令原函数的误差率为0的情况。 在x=x0处，用来近似f(x)的一次函数g(x)=kx+b，其中，k被称为f(x) 在x=x0处的微分系数，k=f’(x0)，就是y= f(x)在x=x0处切线的斜率。 由y=f(x)求解导函数 的过程称为微分 求几个常用的函数的导数： 1、函数的导数 根据导数定义，因为 所以 函数 导数 表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数的导数 因为 所以 函数 导数 表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数的导数 因为 所以 函数 导数 表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为． 4．函数的导数 因为 所以 函数 导数 总结 函数 导数 推广：若，则 导数的几何意义 ： 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f((x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan(=f((x0)。 导数的物理意义： 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s((t0), 就是当物体的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度v, 即: v=s((t0). 求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率f((x0) ，得到曲线 在点(x0,f(x0)) 2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 或将(x0,f(x0))的值代入y= f((x0)x+b中，求出b，即可以求出切线方程。 小结： 极限是用来求解微分系数的。 微分系数，就是所给出点的切线的斜率。 微分系数就是变化率。 例一：求函数过点（1,1）的切线。 解答：先用导数求出切线斜率，然后用斜率和点 (1, 1)求出切线方程 y’=3x2-8x+3，在点 (1, 1)处，y’=3x2-8x+3=3-8+3=-2，所以切线斜率=-2 把点 (1, 1)代入切线方程y=kx+b，求出b=3，所以切线方程为y=-2x+3 或用点斜式求方程，（y-1）=-2(x-1)，求出切线方程y=-2x+3 极值问题 极大点和极小点是函数增减性发生变化的地方，对研究函数的性质很重要，极大点、极小点常常会变为最大点、最小点，是求解某些最优解问题的关键点。 当f(( x0)0时，所近似的一次函