多元微积分(下).docVIP

07级 填空题（每小题4分，共28分）： 1、设函数由方程所确定，则＝ 。 2、函数的驻点是 。 3、根据二重积分的几何意义 ，其中。 4、＝ 。 5、柱面Σ以xoy平面上的线段L为准线，母线平行于oz轴，则Σ介于平面z=0及曲面之间的部分的面积可用曲线积分表示为 。 6、（仅A班做）设有连续导数，L是单连通域上任意简单闭曲线，且。则＝ 。 7、（仅A班做）设Σ是xoy面上的闭区域的上侧， 则＝ 。 试解下列各题（每小题7分，共28分） 1、求曲面在点处的切平面和法线方程。 2、计算二重积分，其中D是由直线，及所围成的闭区域。 3、利用球面坐标计算积分，为球体。 4、（仅A班做）计算积分，其中C是 摆线自点到点的一段，为正的常数。 三（10分）求在圆域上的最大值和最小值。 四（10分）设圆形薄片的面密度函数为，试求薄片的质量。 五、（10分）计算，其中Σ是半锥面的介于及之间的那部分锥面。 六、（10分）（仅A班做）计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧。 七、（4分）设在上有连续的导函数，试证：。 填空题（每小题5分，共30分）： 1、当时，的值等于 。 2、若函数在取得极值，则常数 。 3、设区域，则 。 4、设D为圆域：，则 。 5、在点处沿方向的方向导数为 。 6、曲线在点处的切线方程为 。 试解下列各题（每小题6分，共30分）： 1、设是由确定的函数，求，。 2、通过交换积分次序计算积分。 3、（仅A班做）是由及所围成的区域D的正向边界，计算。 4、设为抛物线上介于与之间的一段弧，计算。 5、试证曲面上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和等于常数。 三、（10分）用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取多少尺寸时，可以使用料最省？ 四、（10分）求旋转抛物面位于之间的那一部分的面积。 五、（10分）利用球面坐标计算积分，其中是由与所围成的闭区域。 六、（5分）（仅A班做） 计算，其中是锥面被平面所截的有限部分的下侧。 七、（5分）圆锥面底的半径为a，高为h，质量均匀分布，试求其重心的位置（不包括底面）。 一、试解下列各题（每题5分，共25分）： 1、当时，则的值等于 。 2、设是由方程所确定，那么 。 3、（A）设L是xoy面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则L所围成的平面闭区域D的面积等于 。 （B）当时，则的值等于 。 4、设都有连续偏导数，则在的梯度方向上的方向导数为零的条件是 。 5、曲线在点处的切线与y轴夹角的余弦是 。 二、试解下列各题（每题7分，共35分）： 1、将积分化为球面坐标下的三次积分，其中是连续函数。 2、求曲面上点处的切平面和法线方程。 3、（A）求，其中L是从A(2,1)沿曲线到点B(10,4)一段。 （B）求，其中是曲线上相应于t从0到2的这段弧。 4、研究函数是否有极值。 5、试求位于两圆和之间的均匀薄片的重心。 三、（10分）求圆锥面被圆柱面所截下部分的面积。 四、（10分） （A）计算，其中是在xoy面上方部分的上侧。 （B）计算，其中积分域D是圆，，直线，所包围的在第一象限的区域。 五、（10分）（A）试求出积分的被积表达式的原函数，并计算该积分。 （B）试求积分，其中为由平面和围成的区域。 六、（10分）求内接于椭圆且底边平行于长轴并具有最大面积的等腰三角形的面积。 2