十三金融衍生数学课件.pptxVIP

第十三章 Black-Scholes PDE：应用 Black-Scholes PDE 我们在上一章得到了一些PDE。它们是以St为标的资产的衍生品的价格所必须满足的一些条件。标的证券不支付红利，无风险利率假设为常数r。 我们知道其基本形式为： dSt=a(St,t)dt+σ(St,t)dWt , t∈[0,∞) 其边界条件为： F(ST,T)=max[ST-K,0] Black和Scholes第一次在金融中使用了上面的方程。因此我们将这两个方程称为“Black-Scholes基础PDE”。 Black和Scholes对这个PDE进行了求解，得到了函数F(St,t)的显示表达式。 其求出的表达式如下： 资产定价中的PDE： Black和Scholes所得的偏微分方程含有如下重要假设： 1.标的资产是股票 2.股票不支付红利 3.衍生资产是欧式看涨期权，到期前不能执行 4.无风险利率为常数 5.不存在不可分性，不存在佣金和竞买竞卖差价 在绝大多数定价应用中，有一个或多个假设会被违背。如果是这样的话，那么Black-Scholes一般无法使用。我们需要建立新的PDE。但是假设3违背是例外，如果是美式期权，PDE仍保持不变。 接下来我们具体讨论红利支付为常数时的情况。 如果我们试着对看涨期权定价，如果期权的标的股票每次支付的红利率为常数δ，那么最终的PDE只有细微的变化。 我们再次通过标的资产和看涨期权的组合来构造相同的“近似”无风险组合： Pt=θ1F(St,t)+ θ2St 投资组合的权重θ1和θ2依然选择为： θ1 = 1 θ2 = -Fs 奇异期权 假设衍生资产是到期日可能随机变化的期权，例如下降敲出期权（Down-and-out Option ）和上升敲出期权(Up-and-out Option)就是众所周知的障碍型衍生资产。与“标准期权”不同，这些工具的偿付取决于标的资产在期权有效期内的价格是否达到某个障碍价格。如果达到了，偿付即发生变化。接下来对这些奇异期权进行简单介绍。 1.回望期权 在标准Black-Scholes情形中，如果期权在到期日 在浮动回望看涨期权情形中，偿付等于 ST-Smin ，其中，Smin是期权有效期内所观察到的最低价格。 另一方面，在固定回望看涨期权情形中，偿付等于Smax与固定的执行价格K之差（如果为正）。这些期权的一个特征是，如果在期权的剩余期限内，期权是价内期权，那么期权的偿付就肯定为正。 因此，在其他条件相同的情况下，期权也就更为昂贵一些。 2.梯式期权 梯式期权有好几个阈值，如果标的资产达到这些阈值，那么期权的收益就是“锁定的”。 3. 触碰生效期权 下跌生效期权能在期权有效期内即期价格低于障碍价格时为持有者提供一种欧式期权。如果障碍价格无法达到，那么期权到期时的偿付以折扣的形式进行支付。 4. 敲出期权 敲出期权属于欧式期权。当标的资产在期权有效期内的价格下降到低于障碍价格时期权立即到期。如果障碍价格能够达到，那么期权的偿付将以折扣方式进行支付。否则，它就是标准的欧式期权。这种期权就是所谓的“下跌失效期权”。 5. 其他奇异期权 构造奇异期权的方法显然有很多种。也包括如下普通情形： 一篮子期权：这种衍生产品的标的资产是一篮子金融工具。这样的“篮子”可以减小个体证券的波动率。一篮子期权在新兴市场中很常见。 多种资产期权： 其偿付取决于多种标的资产的价格。例如，这种类型的看涨期权的偿付可能为： F(S1T,S2T,T)=max[0,max(S1T,S2T) - K] 在到期时运用的是较高的那个资产价格。 另一种可能是价差看涨期权： F(S1T,S2T,T)=max[0 , (S1T - S2T) - K] 还有一种例子是组合期权： F(S1T,S2T,T)=max[0 , (θ1S1T +θ2S2T) - K] 其中θ1和θ2是已知的投资组合权重。 最后一个例子是双执行价格看涨期权： F(S1T,S2T,T)=max[0 , (S1T – K1),(S2T – K2)] 另外平均价格期权或亚式期权也很常见，其偿付取决于标的资产在期权有效期内的平均价格。 相关PDE 通过刚才的介绍我们容易看出，奇异期权与标准Black-Scholes情形之间有三个主要的差异： 第一，期权的到期价值取决于某种事件在期权有效期内是否发生（例如，他可能是标的资产最大价格的某个函数）。显然，这使得边界条件比Black-Scholes情形更为复杂。 第二，衍生工具可能具有随机的到期日。 第三，衍生工具的标的资产可能不止一种。 所有这些都会使Black-Scholes的基础PDE发生变化，我们在这里不对所有的例子进行讨论，只考虑敲出期权。我们来讨论“下降敲出”看涨期权的情形。 令Kt