十八向量组及其线性组合.pptVIP

微分方程 设 * * 第四章 向量组的线性相关性 一、向量的概念 二、向量组的线性组合 第一讲 一、向量的概念 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ··· , an 所组 n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量. 1. 向量的定义 成的数组称为 n 维向量, 这 n 个数称为该向量的 分量为复数的向量称为复向量。 分量全为实数的向量称为实向量， 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 2.向量的表示方法 或 或 注意: 　　１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 　　２．行向量就是行矩阵，列向量就是列矩阵. 因此，向量之间的相等、加法和数乘也即为矩阵 的相等、加法和数乘； 　　３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量. 二、向量组的线性组合 向量组：同维数的列（行）向量所组成的集合. 1. 向量组 就是一个由四个 3 维列向量 ?1, ?2, ?3, ?4 构成的 向量组. 例如 2. 矩阵与向量组的关系 例如 维列向量 个 有 矩阵 m n ij A a n m ) ( × = . , , , 的列向量组 称为矩阵 向量组 A L 向量组 , …， 称为矩阵A的行向量组． 维行向量 个 又有 矩阵 类似地 n m ij A a n m ) ( , × = 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 矩阵 构成一个 组 维列向量所组成的向量 个 m n , , , , n m m 2 1 × a a a L 矩阵 构成一个 的向量组 维行向量所组成 个 n m n m T m T T × , , , 2 1 b b b L 综上所述, 一个矩阵与一个行向量组(或列向 量组)一一对应. 定义2 3.线性组合的定义 ，对于任何一 给定向量组 m A a a a , , , : L 2 1 向量 线性组合 称为向量组的一个 ， ， ， 组实数 m k k k , L 2 1 . 个线性组合的系数 定义3 这时称向量 能由向量组 线性表示． 我们很关心b能否由向量组A线性表示，因为如果b能由向量组A线性表示，则我们把b扔掉也没关系，因为由向量组A可把b找回来。 则向量b是向量组 A的线性组合. ，使 ， ， 一组数 m l l l , L 2 1 如果存在 和向量 给定向量组 , , , , : b A m a a a L 2 1 例如： 因此， 可由 线性表出. 而 不能由 线性表出. 因为不存在 使得下式成立： 线性表示，就是要考虑是否有 向量能由向量组线性表示的充要条件： 存在，使得 即判断线性方程组 . 是否有解 条件是矩阵 的秩等于矩阵 定理1 线性表示的充分必要 能由向量组 向量 A b 的秩. 已知 判断 可否由 线性表示? 解： 所以 不能由 线性表示. 例1 向量 能由向量组 线性表示，并求出表示式。 只需证 因此，向量 可由向量组 线性表示. 例2 证明： 证： 由上述最简形，可得方程 的解为： 于是， 可由 表示为 其中，c为任意常数.