第六节极限的运算法则.doc

第六节 极限的运算法则 前两节我们已经研究了数列极限和函数极限的概念及其性质,本节讨论计算极限的方法—极限的四则运算法则和复合函数求极限法则,并利用这些法则去求出一些函数和数列的极限,以后还将介绍求极限的其他方法. 一、极限的四则运算法则 下面的法则, 虽然针对函数极限的情况叙述的,但所得结论对数列极限也成立.由于法则对各种自变量变化过程的函数极限都成立,因此在符号下面没有写出自变量的变化过程,但要注意,在同一场合,自变量的变化过程相同. 1. 四则运算法则 下面的四则运算法则中,均设,且有限,则有: 法则Ⅰ .并且可以推广到有限多个函数的代数和的极限情形. 法则Ⅱ ,并且也可以推广到有限多个函数的乘积的极限情形.特别地， (为常数); (为正整数). 法则III 当时,. 证明 以上法则均可根据极限的定义及其性质进行证明,这里我们以法则Ⅱ为例,就自变量的情形来证明. 根据函数极限的局部有界性,由知, : (是常数). 因为,所以对上述同一个,根据函数极限的定义有: : ; : . 又注意到 所以,,取,当时, 有 而我们知道,一个常数乘以任意小的一个正数仍是任意小的正数,所以有: 法则Ⅳ 由. 证明 记,由极限的保号性即证. 2. 运用四则运算法则求极限举例 应用法则时,要特别注意条件:要求都存在;否则法则不能用. 例如,运算过程:是错误的,因为极限不存在, 因此不能用四则运算法则.此极限的为0,可用定义证明或用后面的方法求得. 对有理整式(即多项式)求的极限,只要将代入函数中即可. 例1 求. 解 直接应用四则运算法则,即有: . 对有理分式,只要,则.若,则法则III不能用. 例2 求. 解 因为分母的极限,所以 例3 求 . 解 分母的极限,不能用求极限的商的法则.但此时分子的极限也为零,我们可先消去零因子,而得到: . (约去趋零因子求极限法) 例4 求 (为正整数). 解 利用约去趋零因子法,有: 例5 求. 解 注意到当时,两个分式的极限都不存在,不能直接应用四则运算法则,更不能将原式看成“”.应先通分并约去趋零因子后就有: (先通分后约去趋零因子求极限法) 例6 求. 解 当时,分子、分母的极限都不存在,不能直接应用四则运算法则,更不能去将原式看成“”.这时用分母中的最高方次来遍除分子分母,很快就将常数分离了出来,从而得到结果. 这种求极限的方法我们称为“常数分离求极限法”.我们再举两例加以说明. 例7 求. 解 例8 求. 解 例9 设 求(1) ; (2) ; (3) . 解 (1) (2) (3) 注意到是分段函数的分界点,所以应先求它的左、右极限,而后才能判断它在分界点处极限是否存在.因为 , , 故有: . 二、极限的复合运算法则 法则Ⅴ 设函数是由函数与函数复合而成,在点的某去心邻域内有定义,若 且存在,当时,有,则 . 证明从略. [说明] (1) 在法则Ⅴ中,把换成或,而把换成, 可得类似的法则. (2) 法则Ⅴ表明,在函数和满足法则要求的条件下,要求, 可以先作代换将其化为求, 如果, 则: 这是我们今后常用的方法或技巧之一. (3) 特别地,若有,则有: 此时表明: 极限符号与函数符号可以交换次序. 由此可得,对于所有初等函数而言, 若在其定义域内,则,也即是直接代入得函数值. 例10 求. 解 例11 求. 解 将分子有理化,得 习 题 1-6 1. 填空题: (1) 已知为常数, , 则 , . (2) 已知为常数, , 则 , . (3) 已知为常数, , 则 , . 2. 求下列极限: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) (为正整数); (7) ; (8) ; (9) ; (10) ; (11) ; (12) ; (13) (为正整数); (14) ; (15) . 3. 设 分别求和时的极限. 4. 若当时的