第一章李群的概要§1.1连续群和李群1.11从离散群到连续群.ppt

取：q11 q22 p12 p13 p23 q12 q13 q23 （为独立参量） ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7 ?8（实参量） ∴ 例：SO(3，R)=R(3) 三维空间转动（若取Eular角为转动角，由于不满足一一对应的条件，故这里不这样做） （ 的方向为角动量 的方向） 同理： x z y 生成元的性质： 当?很小时 逆元为： 因为： ∴得证 另外，在单位元g(0)附近，即?，?很小时 其中 ------（1） 另一方面 ------（2） 比较（1）和（2）式得 ------（3） 必有： ------（△） 代入（3）式: 显Cm满足： （△）式说明，李群的两个生成元的对易式可由r个生成元的线性组合表出，——李氏第二定理。 ——李群的结构常数，它由生成元的对易式完全确定，在给定群参数的情况下，结构常数与群参数无关，是常数。 若将Xi看成r个基，它们的对易关系可视为相互乘法规则，形成所谓李代数。 李群的结构常数有以下的两个重要性质： （1） 下指标反对称 （2）根据Jacobi恒等式： ----（☆） 同理 ——即李氏第三定理（i=1…r） 应该指出：李群的生成元和结构常数均与参数的选取有关。 例：如选?=f(?)为参数，则 * 第一章 李群的概要 §1.1连续群和李群1.11从离散群到连续群 群的分类（从元素的数目及分布角度） 群 ex:复数集合： ： 可用群的四条定义规则来检验： ⅰ） ⅱ） ⅲ） ⅳ） 显然： ①U(1)群是阿贝尔群 ②由?连续变化, U(1)群的元素个数是不可数的，它是连续群，并且它具有以下特征： ⅰ）U(1)群的每一个元素都可用参数?来标志，参数?连续变化 ⅱ）乘积元数g(?)g(??)所相应的参数?+??是参数?和??的连续函数 ⅲ）逆元[g(?)]-1的参数也是?的连续函数。 1.1.2 群的参量和连续群 群中各元素可看作某个抽象空间（群空间group space）中的一个点集（群流形group manifold）。 群中的每个元素都可以唯一地用一组数（参数） 来表示元素与参量之间成一一对应的关系。 ex. U(1)群中元素的参量就是? SO(2)群元素 参量为? Def. 表示群元素所需要的最少数目的（实）参量称为必要参量（essential parameteis） ex. 若将一维平移群表示为： 这变换中的参数?，?就不是essential。 Def? 若连续群的元素由r个必要参量决定： 则该群称为r阶连续群（r-parameter continons group），r称 为群的阶。 在离散群中（包括现在的无限离散群）的必要参量只有一个。 ex ，整数二维平移群Tmn： 其中m，n为整数。 图中每点代表一个群元素。各元素（m,n）的编号如中所示只需要一个参量（红色编号）。 (-1,0) (0,0) (-2,0) (1,0) (2,0) (-1,1) (0,1) (-2,1) (1,1) (2,1) (-1,2) (0,2) (-2,2) (1,2) (2,2) (-1,-1) (0,0) (-2,-1) (1,-1) (2,-1) (-1,-2) (0,-2) (-2,-2) (1,-2) (2,-2) 19 6 1 2 11 20 7 8 9 10 21 22 23 24 25 18 5 4 3 12 17 16 1