复变函数课件第2章解析函数.pptVIP

第2章 解析函数 第一节 函数解析性的概念及其判定 1.1复变函数的导数与微分 1.2解析函数的概念 1.3判定函数解析性的方法 1.1复变函数的导数与微分 1.主要定理 2.典型例题 第二节 复变初等函数 2.1 指数函数 2.2 对数函数 2.3 乘幂与幂函数 2.4 三角函数与双曲函数 2.5 反三角函数与反双曲函数 2.1指数函数 2.3幂函数 2.4 三角函数和双曲函数 2.5 反三角函数和反双曲函数 思考题答案 1.复变量z指数函数的定义: 指数函数的定义等价于关系式: 2. 加法定理 例7 解 解: 2.2 对数函数 1.定义： 无穷多值函数 其余各支为： 例9 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 例10 解 例11 解 2. 性质 证明： 说明: 1.定义： 例12 解 答案 课堂练习 例 解 2.幂函数的解析性 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析. 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析. * 第二节 复变初等函数 2.1指数函数 2.2对数函数 2.3乘幂与幂函数 2.4三角函数与双曲函数 2.5反三角函数与反双曲函数 第三节 解析函数的应用-平面场的复势 1.复变函数的导数的定义: 第一节 函数解析性的概念及其判定 在定义中应注意: 例1 解 例2 解 2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: 4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致. 定义 特别地, 1.2 解析函数的概念 1.解析函数的定义: 2. 奇点的定义 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多. 解 由本章例1和例2知: 例3 例4 解 定理 以上定理的证明, 可利用求导法则. 根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. 复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义 在形式上完全一样, 它们的一些求导公式与求导法 则也一样, 然而复变函数极限存在要求与z 趋于零 的方式无关, 这表明它在一点可导的条件比实变函 数严格得多. 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法. 1.1 复变函数的导数与微分 1.2 解析函数的概念 小结 思考题 思考题答案 反之不对. 定理一 1.3判定函数解析性的方法 解析函数的判定方法: 例5 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: 解 不满足柯西－黎曼方程, 四个偏导数均连续 指数函数 四个偏导数均连续 例6 证 思考题