复变函数解析函数的幂级数表示法.pptVIP

1. 泰勒(Taylor)展开定理 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。 定理（泰勒展开定理） D k 分析： 代入(1)得 D k z ---(*)得证！ 证明 (不讲) (不讲) 证明 (不讲) 2. 展开式的唯一性 结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 　　　的Taylor级数。 利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？ 事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数: 由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。 ---直接法 ---间接法 　代公式 　由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 　 析运算和 已知函数的展开式来展开 函数展开成Taylor级数的方法： 3. 简单初等函数的泰勒展开式 例1 解 上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法. 例2 把下列函数展开成 z 的幂级数: 解 (2)由幂级数逐项求导性质得： 　(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,?它的展开式的收敛范围为?z?1. 定理 1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数 4. 展开式的唯一性 §4.4 罗朗(Laurent)级数 由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 ?z - z0?R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1?z - z0?R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？ 例如， 由此推想，若f (z) 在R 1?z - z0?R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。 1. 预备知识 Cauchy 积分公式的推广到复连通域 ---见第三章第18题 D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z * 1. 复数列的极限 2. 级数的概念 第 四 章 级 数 CH4§4.1 复数项级数 1. 复数列的极限 定义 又设复常数： 定理1 证明 2. 级数的概念 级数的前面n项的和 ---级数的部分和 不收敛 ---无穷级数 定义 设复数列： 　 例1 解 定理2 证明 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 　　 两个实数项级数的收敛问题。 性质 定理3 证明 ? 定义 由定理3的证明过程，及不等式 定理4 解 例2 例3 解 练习： 1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质 §4.2 幂级数 1. 幂级数的概念 定义 设复变函数列： ---称为复变函数项级数 级数的最前面n项的和 ---级数的部分和 　 若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 ---级数(1)的和函数 特殊情况，在级数(1)中 称为幂级数 2. 收敛定理 同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理） 证明 (2)用反证法， 3. 收敛圆与收敛半径 　　由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处　处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。 显然，? ? 否则，级数(3)将在?处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，?逐渐变大， 在c?内部都是红色,?逐渐变 小，在c?外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故 播放 (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。 定义　这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。 (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域. 4. 收敛半径的求法 定理2 (比值法) 证明 定理3 (根值法) 定理3 (根值法) 定理2 (比值