复变函数_第8讲.pptVIP

第四节 洛朗级数 二、洛朗级数的概念 三、函数的洛朗展开式 四、典型例题 五、小结与思考 * 二、洛朗级数的概念 三、函数的洛朗展开式 一、问题的引入 五、小结与思考 四、典型例题 由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 ?z - z0?R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1?z - z0?R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？ 例如， 由此推想，若f (z) 在R 1?z - z0?R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。 1. 预备知识 Cauchy 积分公式的推广到复连通域 ---见第三章第18题 D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 负幂项部分 正幂项部分 主要部分 解析部分 同时收敛 收敛 收敛半径 收敛域 收敛半径 收敛域 两收敛域无公共部分, 两收敛域有公共部分 R 结论: . 常见的特殊圆环域: . . . 定理 C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线. 为洛朗系数. 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 记为I1 记为I2 对于第二个积分: 其中 下面证明 则 如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单 闭曲线 . 则 可用一个式子表示为: [证毕] 说明: 函数 在圆环域内的洛朗展开式 在圆环域内的洛朗(Laurent)级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法. 常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法 1. 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 缺点: 计算往往很麻烦. 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 . 2. 间接展开法 例1 解 由定理知: 其中 故由柯西–古萨基本定理知: 由高阶导数公式知: 另解 本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点, 例2 内是处处解析的, 试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数. 解 o x y 1 1 2 o x y 由 且仍有 2 o x y 由 此时 仍有 注意: 奇点但却不是函数 的奇点 . 本例中圆环域的中心 是各负幂项的 说明: 1. 函数 在以 为中心的圆环域内的洛朗级 数中尽管含有 的负幂项, 而且 又是这些 项的奇点, 但是 可能是函数 的奇点,也可能 的奇点. 不是 2. 给定了函数 与复平面内的一点 以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开 式 (包括泰勒展开式作为它的特例). 回答：不矛盾 . 朗展开式是唯一的) 问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾? (唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛