复变函数与积分变换 傅里叶变换.pptVIP

5. 傅里叶变换的基本性质 (1) 线性性质 证明： (2) （微分性质）导数定理 # 证明： (2) 象函数的导数公式 记 则 由微分性质 即 # (3) 积分定理 (3) 相似性定理 通常将变换 f(x) f(ax) 称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的1/a，相应地，测量的长度值变为原值的 a 倍，而保持函数的形式不变。有时也叫尺度变换。 # 证明 (4)位移定理 证明 # 证明 # (5) (6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系 若 和 则 卷积定义： 像函数的位移性质 证明 # 很多时候这样反过来用 6. 函数（单位脉冲函数） 作为广义函数的引入 对于任何一个无穷次可微的函数f(x)，如果满足 其中 (1) 筛选性质 证明： （利用 积分 中值 定理） # (2) 其它性质 证明 # * 利用三角级数的周期性来展开周期函数 一. 傅里叶级数 周期函数的傅里叶展开； 奇函数和偶函数的傅里叶展开； 有限区间中的函数的的傅里叶展开； 复数形式的的傅里叶展开。 傅里叶变换 复变项级数 幂级数 (1.2) (1.1) 要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。 三角函数族： 1. 周期函数的傅里叶展开 周期为 2l 的函数 f(x) 满足 不同的函数形式由不同的组的 和 表示。 a. 2l 周期性 同样 b. 按三角函数族展开 (1.3) 此为傅里叶级数展开. 三角函数组具有正交性 (1.4) 因此 (1.5) 此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。 函数和级数并不完全一样，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致 狄里克雷定理 若函数 f(x) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间 断点； (2) 在每个周期内只有有限个极值点， 则三角级数 (1.3) 收敛，且 2.奇函数和偶函数的傅里叶展开 是奇函数， 是偶函数。 故 奇函数 f(x) 有 其中 偶函数 f(x) 有 其中 3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开 f(x) 定义于 (0, l). 可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。 例 偶延拓 奇延拓 4. 复数形式的的傅里叶级数 其中 例 矩形波 二. 傅里叶积分与傅里叶变换 有限区间的函数可以延拓为周期函数。而任何一个非周期函数f(x) (定义域为 ) ,从方便于研究而言，它又可以看作为以 为周期的函数g(x)当 趋于无穷大的函数。 设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开 1. 傅里叶积分 令： 则 (2.1) 若 有限，则 (2.1)中的余弦部分的极限为： 同理，正弦部分的极限为： 故 其中 (2.2) (2.3) (2.2) 是 f(x) 的傅里叶积分公式 傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件, (2) 在区间上绝对可积 （即 收敛）, 则f(x) 可表为傅里叶积分，且 傅里叶积分值= 连续点 间断点 3. 奇、偶函数 偶函数 奇函数 例 定义矩形函数为 将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。 偶函数 4. 复数形式的傅里叶积分 原函数 像函数 像函数 表示为 原函数到像函数的变换 像函数到原函数的逆变换 例 同前例 偶函数 奇函数 例 1 求矩形脉冲函数 的傅氏变换及其积分表达式。 *