第五单元_矩阵代数数值计算.pptVIP

第五章 矩阵代数数值计算 一、矩阵的基本运算 二、矩阵的三角分解 三、矩阵的正交变换 四、矩阵的谱分解 五、IMSL中的线性系统、特征 值分析模块 5.1 引言 矩阵代数运算在数值计算中起着基础性的作用，无论我们建立了多么复杂的数学模型，最终我们总是要把它变为矩阵代数的形式。特别是统计模型，无论是多元线性回归、广义线性模型、多元统计分析无不与矩阵代数有着密切的联系。我们所研究的对象，即样本可以看成是一个矩阵，而统计上的协方差，实际上是该矩阵的转置与该矩阵相乘形成的新矩阵的元素。而回归的最小二乘估计的算法为： 5.2 矩阵数值计算基础 对于一般的二维样本，我们总可以写成如下的矩阵形式。 5.3 IMSL库中的矩阵计算模块 IMSL库中的maths.lib库中有非常丰富的矩阵计算模块包括： 矩阵乘、矩阵求逆、广义逆矩阵与向量乘等。 矩阵的谱分解、矩阵的奇异值分解。 矩阵、向量的模计算。 矩阵的条件数的计算。 求解线性方程组。 例 5.3.3 计算以下矩阵的全部特征值和特征向量 Usage CALL EVCRG (N, A, LDA, EVAL, EVEC, LDEVEC) Arguments N — Order of the matrix. (Input) A — Floating-point array containing the matrix. (Input) LDA — Leading dimension of A exactly as specified in the dimension statement of the calling program. (Input) EVAL — Complex array of size N containing the eigenvalues of A in decreasing order of magnitude. (Output) EVEC — Complex array containing the matrix of eigenvectors. (Output) The J-th eigenvector, corresponding to EVAL(J), is stored in the J-th column. Each vector is normalized to have Euclidean length equal to the value one. LDEVEC — Leading dimension of EVEC exactly as specified in the dimension statement of the calling program. (Input) 如果存在 使得 则称 为方程（5.2.11) 的最小二乘解，其中 表示向量 y 的模，其定义为。 以下不证明，给出相容方程的一般表达式 或 u任意 5.2.8 矩阵的范数（模） 矩阵的范数与条件数是矩阵代数运算的重要概念之一，范数为任意矩阵定义了一个函数，而条件数是将来进行计算时对计算精度的一种衡量。请见范数的定义： 定义：设 Rm 为 m 维实数空间， 是 Rm 到实数轴R1的一个映射，若 满足 （1） 时成立 （2）对任意常数 ， （3） 则称 为向量 x 的范数 常用的范数有： 1） 2） 3） 矩阵范数的定义： 定义：设 是n×m维实数空间， 是 到实数 轴的一个映射，如果满足： （2）对任意常数 ， 有 （3） 则称 为矩阵A的范数 ，特别，如果 （1） （4）对 则称 为矩阵A的相容范数。 矩阵A的常用范数 对于任意矩阵 定义： 容易证明 是矩阵A的相容范数。则常用的矩阵范数： （1） （2） （3） 这里我们主要讨论 ，并记以 定理：设 A 是 n×m 矩阵，则有 这里 为矩阵 A 的绝对值最大的特征值（奇异值）， 从而我们给矩阵定义了一个范数。 5.2.9 矩阵的条件数 定义：称 为 的条件数，记为： 条件数有以下性质： （1）