第七单元+线性代数中的数值计算问题.pptVIP

要解决的问题 矩阵求逆 行列式的求法及其应用 线性方程组的求解 一、 对角阵与三角阵1．对角阵只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。 提取矩阵的对角线元素设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。 构造对角矩阵设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。 例7-1 先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。 A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...11,18,25,2,19];D=diag(1:5);D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定 常数 2．三角阵三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。 (1) 上三角矩阵求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。triu(A)函数有另一种形式triu(A,k)，其功能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵B。 (2)下三角矩阵在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。 一、 矩阵的转置与旋转1．矩阵的转置转置运算符是单撇号(‘)。2、矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。 3、矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。 1．矩阵的逆对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得： A·B=B·A=I (I为单位矩阵)则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。 逆矩阵的求解 当方阵为奇异矩阵（行列式等于零）时，要求其逆矩阵，matlab将给出警告信息： Matrix is close to singular or badly scaled Results may be inaccurate. 2．矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A‘同型的矩阵B，使得： A·B·A=A B·A·B=B此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是 ： pinv(A) 把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则 求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在 MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是 det(A) 行列式计算方法很多，但化为三角矩阵最适合计算机求解。把方阵用消元法进行简化，将它主对角线以下的元素变为零，并保证消元过程中方阵的行列式不变，得到的上三角矩阵主对角线元素的连乘积就等于原方阵的行列式。 1．矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是 rank(A)。 2．矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。 五、线性方程组求解 齐次线性方程组的求解 齐次线性方程组有解的条件 例7-4若齐次线性方程组的系数矩阵为： 非齐次线性方程组的求解 非齐次线性方程组有解的条件 例7-4若非齐次线性方程组的增广矩阵为： * * 第七章 线性代数中的数值计算问题 7.1 特殊矩阵的实现 7.2 矩阵分析 7.3 线性方程组的求解 7.1 特殊矩阵 7.2 矩阵分析 二、 矩阵的逆与伪逆 例7-2 用