第3单元 一元非线性方程的数值解法.pptVIP

第3章 一元非线性方程的数值解法 3.1 引言 在工程和科学技术领域中，经常会遇到求解一元非线性方程的问题。例如方程： 前者是一个6次代数方程，后者是一个超越方程。这些方程看似简单，但理论上已证明，对于次数大于等于5的代数方程，一般不能用代数方法求其准确根。而在实际问题中，只要能获得满足一定精确度的近似根即可。所以研究一元非线性方程近似根的数值解法，具有重要的现实意义。 3.2 二分法 3.2.2 实现二分法的基本步骤 二分法是求方程近似根的方法中行之有效的最简单的方法，它的递推过程简单，便于计算机上实现，实现二分法的基本步骤如下。 (1) 输入有根区间的端点 及预先给定的精度 ； (2) 计算 ； (3) 若 ，则 ；否则 ； (4) 若 ，则输出方程满足精度要求的根 ，计算 结束；否则转(2)。 #include math.h #define f(x) ((x*x+10)*x-20) #define eps 0.0001 /* 容许误差 */ main() { float a,b,y,x; int k=0; printf(a,b=); scanf(%f, %f ,a ,b); if(f(a)*f(b)=0) /* 判断是否符合二分法使用的条件 */ { printf(Not bisect of bisect); return; } do { x=(a+b)/2; k++; if(f(a)*f(x)0) /* 如果f(a)*f(x)0，则根在区间的左半部分 */ b=x; else /* 否则根在区间的右半部分 */ a=x; }while(fabs(b-a)eps);/*判断是否达到精度要求,若没有达到,继续循环*/ x=(a+b)/2; /* 取最后的小区间中点作为根的近似值 */ printf(\n The root is x=%f, k=%d\n,x,k); } 程序运行结果： a,b=1↙ The root is x=1.594574, k=14 二分法是电子计算机上一种常用的算法，它具有简单和易操作的优点，缺点是收敛较慢，且不能求重根。 3.3 迭代法 3.3.1 迭代法及其基本思想 迭代法的基本思想是逐次逼近，即首先给出方程的根的一个近似初始值，然后反复使用迭代公式校正这个初始值，使之逐步精确化，直到满足预先给出的精度要求为止。 迭代法的具体做法如下： 设法把方程 化为下列等价形式( 称为迭代函数)： (3.4) 然后按式(3.4)构造迭代公式 (3.5) 在有根区间[a,b]上取一点 作为方程 根的初始近似根，代入式(3.5)右端，求得 ，再把 作为预测值，进一步得到 ，如此反复进行下去，得到一个近似根的序列 如果迭代序列收敛于 ，则当 连续时，便是方程 的根。 对预先给定的精度要求 ，只要某个 是满足 即可结束计算并取 。 3.3.2 牛顿（Newton）迭代法及其基本思想 牛顿迭代法的基本思想是，将非线性方程 的求根问题归结为计算一系列线性方程的根。 设 是方程 的一个近似根，将 在 附近作一阶泰勒展开，则有 于是方程 可近似表示成 这是一个线性方程式，设 ，则上式的解为 取 作为原方程的新的近似根 ，即令 (3.6) 则称式(3.6)为牛顿迭代公式。 牛顿迭代法是用曲线 在点 处的切线与 轴的交点的横坐标 来代替曲线 与 轴的交点的横坐标 。由于这一几何背景，牛顿迭代