专题09综合训练1（第02期）-高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列Word版含解析.docVIP

2017届高考数学（理）大题狂练 专题09 综合训练1 1.已知为数列的前项和满足，. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和. 【答案】（I）；（II）. 试题解析： （Ⅰ）当时，，因为，所以， 当时，， 即，因为，所以所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以数列的前项和为. 考点：数列求通项与求和. 2.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人） 几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （Ⅰ）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空军能力与性别有关？ （Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率． （Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望． 附表及公式 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 【答案】（I）有的把握认为视觉和空军能力与性别有关；（II）；（III）分布列见解析，. 试题解析： （Ⅰ）由表中数据得的观测值 所以根据统计有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关． （Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种 可能取值为0，1，2，， ， 的分布列为： ． 0 1 2 考点：独立性检验，分布列. 3.如图，在直三棱柱中，，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面． （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). （2）在直三棱柱中，，， ．以为坐标原点，以，，所在直线建立空间直角坐标系如图所示．由（Ⅰ）知为中点，点，，，坐标分别为，，，．设平面的法向量， 且，取，，同理，平面的法向量．设二面角平面角为，则， ． 考点：全等三角形的性质及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用．.Com] 4.已知椭圆的短轴长为，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆半径的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）设的内切圆的半径为， 易得的周长为，所以，因此最大，就最大. 把分解为和,从而得到，整理方程组， 求出两根和与两根既即得到面积与的函数关系，通过换元，利用均值不等式即可求得的最大值，此时. （2）设，设的内切圆的半径为， 因为的周长为，， 因此最大，就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ， 由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为， 由得，] 所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又因直线与椭圆交于不同的两点， 故，即，则 ．．．．．．．．．．．．10分 令，则， ． 令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数， 即当时，在上单调递增， 因此有，所以， 即当时，最大，此时， 故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为．．．．．．．．．．．12分 考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系. 5.已知函数. （I）求函数的单调区间； （II）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？ （III）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围. 【答案】（I）当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（II）；（III）. 【解析】 试题分析：（I），当时，由得，由得，当时，由得，由得；（II）由题，即，，此时，，则，若在区间上存在极值，则应有，又为开口向上的抛物线，且，所以应有，于是可以求出的取值范围；（III）时，，令，则，然后分，进行讨论，即可以求出的取值范围. （II）由，， 故， ， ……………………………5分 在区间上总存在极值， 有两个不等实根且至少有一个在区间内 又是开口向上的二次函数，且， 由，解得， ……………………………6分 由， 在上单调递减，所以， ，