第7章第5节.docVIP

第章　第 1．(2014·宝鸡质检)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方 形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是(　　) 13＝3＋10；25＝9＋16；36＝15＋21；49＝18＋31； 64＝28＋36. A．　　　　 B．　　　　C．　　　　 D． 解析：选C　这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，因此只有正确．故选C. 2．给出下列三个类比结论： (ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn； loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　C．2　　　　 D．3 解析：选B　由条件知只有正确．故选B. 3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，nN*，则f2 014(x)＝(　　) A．－sin x－cos x　　　　 B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x　　　　 D．sin x＋cos x 解析：选C　列举f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x； f3(x)＝f′2(x)＝－sin x－cos x； f4(x)＝f′3(x)＝－cos x＋sin x； f5(x)＝f′4(x)＝sin x＋cos x； …… 由此归纳得其周期为4，即fn(x)＝fn＋4(x)， 所以f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x，故选C. 4．在下图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x＋y＋z的值为(　　) cos 0 2 sin tan x y z A．1　　　　 B．2　　　C．3　　　　 D．4 解析：选A　先算出三角函数值，然后根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表可得： 1 2 3 1 x＝ y＝ z＝ 所以x＋y＋z＝＋＋＝1，故选A. 5．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　) A．28　　　　 B．76　　　　C．123　　　　 D．199 解析：选C　利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．故选C. 6．(2014·长沙模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，yR.对于任意实数a，b，c，给出如下结论： (a*b)*c＝a*(b*c)；a*b＝b*a； (a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)． 其中正确结论的个数是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　C．2　　　　 D．3 解析：选D　因为a*b＝lg(10a＋10b)，故(a*b)*c＝lg(10a＋10b)*c＝lg(10lg(10a＋10b)＋10c)＝lg(10a＋10b＋10c)，同理a*(b*c)＝a*(lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10b＋10c)，故“*”运算满足结合律；据定义易知运算符合交换律；(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c＝lg(10a＋10b)＋lg10c＝lg(10a＋10b)10c＝lg(10a＋c＋10b＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，故结论成立；综上可知均为真命题，故选D. 7．观察下列不等式：＜1；＋＜；＋＋＜，…请写出第n个不等式________． 解析：＋＋＋…＋＜　由归纳知第n个式子为＋＋＋…＋＜ 8．(2014·黄冈中学月考)在等差数列{an}中，若a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有等式(s－1)at－(t－1)as＝0成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b1＝1，s，t是互